FAV-ZCU/KMA DMA/Prednaska03.md

Věta: Mějme \mathbb{Z}_{n}, a \in \mathbb{Z}_{n}, pak existuje a^{-1} \in \mathbb{Z}_{n} \iff \gcd(a, n) = 1, tj. a, n jsou nesoudělná.

• Dk: a^{-1} \cdot a \equiv 1 (mod n)
  • \implies a^{-1} \cdot a \equiv 1 + \ln
  • a^{-1} \cdot a - l \cdot n = 1
  • d | a, d | n \implies d = 1 = \gcd(a, n)
  • 1 = \gcd(a,n) = \alpha \cdot a + \beta \cdot n \implies \alpha a + \beta n = 1
    • \alpha a = 1 - \beta n
    • \alpha a \equiv 1 (mod n)
• Př: \mathbb{Z}_{8} \dots (0, 1, \dots, 7)
  • 2^{-1} neex.
  • 3 \gcd(3, 8) = 1, \quad 3^{-1} ex.
  • Pozorování: n prvočíslo každé nenulový prvek a \in \mathbb{Z}_{n} má inverzi
• Věta: \mathbb{Z}_{n} je těleso \iff n prvočíslo

Lineární prostory nad \mathbb{Z}_{n}, n prvočíslo, množina nad \mathbb{Z}_{n}

• Př: obecně v \mathbb{Z}_{n} neplatí krácení
  • \mathbb{Z}_{6} \quad 2 \cdot 3 \equiv 4 \cdot 3 (mod 6)
  • \centernot\implies 2 \equiv 4 (mod 6)
• Př: 16^{-1} v \mathbb{Z}_{45} \quad 1 \cdot 16, 2 \cdot 16, 3 \cdot 16, \dots, 44 \cdot 16
  • Eukleidův algoritmus
    • \gcd(45, 16)
      • 45 = 2 \cdot 16 + 13
      • 16 = 1 \cdot 13 + 3
      • 13 = 4 \cdot 3 + 1
      • 3 = 3 \cdot 1 + 0
  • Rozšířený Eukleidův algoritmus
    • 1 = \gcd(45, 16)
    • 1 = 13 - 4 \cdot 3 = 13 - 4 \cdot (16 - 1 \cdot 13) = 5 \cdot 13 - 4 \cdot 16 =
    • = 5 \cdot (45 - 2 \cdot 16) - 4 \cdot 16 = 5 \cdot 45 - 14 \cdot 16
    • 16^{-1} = 31 (= 45 - 14)
• Pozn: konečná tělesa s počtem prvků n existují, pokud n je mocnina prvočísla
  • a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}

Věta (malá Fernantova věta)

• p prvočíslo, a \in \mathbb{N}, pak platí a^p \equiv a (mod p), pokud p \centernot \mid a, a^{p-1} \equiv 1 (mod p)
• Dk: indukcí podle a
  • předpis a^p \equiv a (mod p)
  • chci (a+1)^p \equiv a+1 (mod p)
  • binomická věta (x+y)^n = \binom{n}{n}x^n + \binom{n}{n-1}x^{n-1}y + \dots + \binom{n}{k}x^{n-k}y^k + \dots + \binom{n}{0}y^n
  • (a+1)^p = \binom{p}{p}a^p + \binom{p}{p-1}a^{p-1} + \dots + \binom{p}{1}a
  • (a+1)^p - a^p - 1 = \binom{p}{p-1} a^{p-1} + \dots + \binom{p}{k} a^{p-k} + \dots \binom{p}{1} a = 0 (mod p)
  • (a+1)^p - a^p - 1 \equiv 0 (mod p)
  • (a+1)^p - a - 1 \equiv 0 (mod p) \implies (a+1)^p = a+1 (mod p)

RSA, ECC

Grupy (G, \circ) - \circ je binární operace na G ... \circ : G \times G \to G

• (\mathbb{N}, +)
• Def: (G, \circ) tvoří grupu, pokud platí
  1. \circ asociativní : \forall \, x, y, z \in G : (x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)
  2. existence neutrálního prvku
     • \exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \circ e = x = e \circ x
  3. existence inverzního (opačného) prvku
     • \forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \circ x^{-1} = e
• Př: (\mathbb{Z}, +)
  • matice B regulární M_{n,n}, součin matic grupa, neutrální prvek je I, inverzní prvek A^{-1}
  • není (\mathbb{N}, +)
  • relace na množině
  • skládání relací
  • neutrální prvek ... identická relace na X
  • neplatí obecně \rho \circ \rho^{-1} = E_{x}
    • X = {a, b}
    • \rho = \{(b,a)\}
    • \rho^{-1} = \{(a,b)\}
    • E_{x} = \{(a,a),(b,b)\}
• pokud \circ komutativní, pak (G, \circ) se nazývá komutativní grupa (Abelova grupa)
• Př: grupa permutací
  • X = \{ 1, 2, \dots, n \} permutace : bijekce X na X
  • množina permutací $n$-prvkové množiny (S_{n}, \circ) (skládání permutací)
    • grupa nekomutativní, neutrální prvek identické permutace
    • \pi \circ \pi^{-1} = id
• Př: grupa symetrií rovnostranného trojúhelníku
  • G = \{ id, r, s, x, y, z \}, skládání (G, \circ) grupa nekomutativní

Cayleyho tabulka

• latinské čtverce

Těleso a grupa

• (M, +, \times) těleso (=)
• (M, +) je Abelova groupa (e neutrální prvek vzhledem k +)
• (M \setminus \{e\}, \times) je Abelova groupa
• +, \times splňují distr. zákon
  • \forall \, x, y, z \in M : x \times (y + z) = (x \times y) + (x \times z)

Uzávěry relací

• \rho na množině X
• reflexivní uzávěr \rho^\times relace \rho
  • \rho^\times = \rho \cup E_{x}
  • \rho^\times nejmenší nadrelace \rho, která je reflexivní
• tranzitivní uzávěr \rho^+ relace \rho
  • \rho^+ = \rho \cup \rho^2 \cup \rho^3 \dots
  • \rho^+ = U^{\infty}_{i=0} \rho^i
• reflexivně tranzitivní
  • TODO

Uspořádání

• (\mathbb{R}, \leq) - reflexivní, slabě antisymetrické, tranzitivní
• Def: X množina, \rho relace na X, \rho refl., sl. antisym., tranz.
  • (X, \rho) uspořádaná množina (poset)
• Př: (\mathbb{Z}, \leq)
  • (\mathbb{N}, |) poset (dělitelnost na $\mathbb{N}$)
  • (Z^\times, \leq) inkluzí uspořádaná potenční množina X množin
  • \mathbb{R}^n : (x_{1}, \dots, x_{n}) \leq (y_{1}, \dots, y_{n})
  • \forall \, i = 1, \dots, n : x_{i} \leq y_{i}
  • \leq je refl., sl. antisym., tranz.
• Znázornění uspořádání
  • dělitelnost na X = \{ 2, 3, 4, 6, 12 \}
  • Hasseův diagram
    • relace bezprostředního předchůdce
    • (X, \leq) poset
    • \leq relace uspořádání \to \dot{\leq}
    • x \dot{\leq} y \iff x \leq y \wedge \not\exists z \in X : x \neq z \neq y \wedge x \leq z \leq y
  • Př: (\mathbb{R}, \leq) poset
    • relace bezprostředního předchůdce je \emptyset
  • Def: (X, \leq) poset
    • a \in X je minimální, pokud \not\exists \, x \in X : x \neq a, x \leq a
    • a \in X je maximální, pokud \not\exists \, x \in X : x \neq a, a \leq x
    • a \in X je nejmenší, pokud \not\exists \, x \in X : x \geq a
    • a \in X je největší, pokud \not\exists \, x \in X : a \geq x
  • Pozorování: X konečná množina, tak relace uspořádání je reflexivně-tranzitivní uzávěr relace bezprostředního předchůdce