FAV-ZCU/KMA DMA/Prednaska09.md

Vlastnosti souvislých grafů

• Věta: G je souvislý, m hran, n vrcholů, pak
  1. m \geq n - 1
  2. pokud n \geq 2, pak v G existuje v, v \in V(G) tak, že G \setminus u je souvislý, G \setminus v je souvislý

Orientované grafy

• Def: orientovaný graf je dvojice G = (V, E), V je množina vrcholů, E je množina hran, E \leq V \times V
• orientované grafy odpovídají binárním relacím

Speciální grafy

• orientovaná cesta P_{n}(\vec{P_{n}})
• cyklus C_{n}(\vec{C_{n}})

Podgrafy a spol.

• G orientovaný graf
• podgraf: H \leq G : V(H) \leq V(G), E(G) \leq E(G)
• indukovaný podgraf: H \leq G : V(H) \leq V(G), E(H) = E(G) \cap (V(H) \times V(H))
• faktor: V(H) = V(G), E(H) \leq E(G)
• vlastní faktor: H je vl. faktor G : H je faktor \wedge H \neq G

Symetrizace orientovaného grafu

• symetrizace H, or. graf G
• z hran v G "odmažu" orientaci
• smažu násobné hrany
• smažu smyčku
• E(H) = \{ \{x, y\} | (x, y) \in E(G), x \neq y \}
• V(H) = V(G)
• orientace neorientovaného grafu H - přiřaďme orientaci neorientovaným hranám
• 2^n možných orientací
• v orientaci neor. grafu nejsou smyčky ani prituchůdné hrany

Okolí a stupně v orientovaných grafech

• G or. graf, G = (V, E)
• v \in V(G)
• N^{out}(v) = \{ u \in V(G) \mid (v, u) \in E(G) \}
  • vstupní okolí N^+, N^-
• N^{in}_{G}(v) = \{ u \in V(G) \mid (u, v) \in E(G) \}
• výstupní stupeň
  • d^{out}_{G}(v) = \vert N^{out}(v) \vert
• vstupní stupeň
  • d^{in}(v) = \vert N^{in}(v) \vert
• \sum_{ n\in V(G)} d^{out}_{G}(v) = \sum_{n \in V(G)} d^{in}_{G}(v) = m
  • m je # hran or. grafu
  • D: každá hrana započtena 1x

Slabá souvislost or. grafu G

• Def: or. graf G je slabě souvislý, pokud je jeho symetrizace souvislá
  • \to komponenty slabé souvislosti

Orientované sledy, tahy a cesty

• orientovaný sled - posloupnost vrcholů v_{1}, v_{2}, \dots, v_{l} tak, že (v_{i}, v_{i+1}) \in E(G)
• orientovaný tah - neopakují se hrany
• orientovaná cesta - neopakují se vrcholy
• další 3 možné pohledy
  • uzavřený orientovaný sled - počáteční a koncový vrchol posloupnosti stejné
  • uzavřený orientovaný tah
  • cyklus (uz. or. cesta)
• Def: orientovaný graf G je silně souvislý, pokud \forall dvojice vrcholů x, y \in V(G) platí, že v G \exists orientovaný xy-sled (cesta) \wedge \, \exists or. yx-sled (cesta)
  • nejkratší or. xy-sled je xy-cestou
• Věta: G je or. graf, slabě souvislý
  • G je silně souvislé \iff každá hrana je obsažena v nějakém cyklu

Relace oboustranné dosažitelnosti

• or. G, x, y \in V(G)
• relace ob. dosažitelnosti x \sim y, pokud \exists or. xy-sled \wedge \, \exists or. yx-sled
  • reflexivní
  • symetrická
  • tranzitivní - x \sim y \wedge y \sim z \implies x \sim z
  • je to ekvivalence
• \implies rozklad V(G) na třídy ekvivalence
• silná komponenta - je podgraf indukovaný na třídě ekvivalence (maximální silně souvislý podgraf)

Kondenzace or. grafu G

• V_{C} = množina silných komponent G
• G_{C} = (V_{C}, E_{C})
• Q_{1}Q_{2} \in E_{C}, pokud v G \exists \, x_{1} \in V(Q_{1}), \exists \, x_{2} \in V(Q_{2}) tak, že (x_{1}, x_{2}) \in E

Acyklické or. grafy

• or. graf bez cyklů
• Acyklické grafy odpovídají POSETům
• sledová relace [walk relation] \quad x\sim y \quad x, y \in V(G), pokud \exists or. xy-sled
  • reflexivní x\sim y [sled nulové délky]
  • antisymetrická
  • tranzitivní
• každý POSET odpovídá sledová relace nějakého acykl. grafu [bisekce]
• minimální prvky \quad d^{in}_{G}(v) = 0\quad - vstupní vrchol
• maximální prvky \quad d^{out}_{G}(v) = 0\quad - výstupní vrchol
• každý podgraf acyklického grafu je acyklický [acyklicita je dědičná]
• \implies každý acyklický graf má topologické uspořádání vrcholů (odtrhávání vstupních vrcholů a jejich postupné číslování)
• lineární (topologické) uspořádání
  • očíslování vrcholů ac. grafu tak, že (i,j) \in E(G) \implies i < j
• or. graf G je acyklický \iff vrcholy G lze lineárně uspořádat
• Věta: G or. graf
  1. kondenzace G^C je acyklická
  2. G je silně souvislý \iff G^C má jediný vrchol
  3. G acyklický \iff G^C = G

Matice přiřazené grafům (or. & neor.)

• Laplaceova matice L(G) neorientovaného grafu G řádu n = \vert V(G) \vert
• redukovaná Laplaceova matice L_{R}(G)
  • vynecháním i-tého řádku a i-tého sloupce pro nějaké (pevné) i
• Věta: počet různých koster neor. grafu G je roven \det L_{R}(G)