FAV-ZCU/KMA DMA/Prednaska10.md

Počet koster úplného grafu (různých)

• Věta (Cayleyho formule)
  • počet různých koster úplného grafu K_{n} je n^{n-2}
  • [= počet různých stromů na n vrcholech]

Incidenční matice [vrcholově-hranová inc. matice]

• or. graf G bez smyček, G = (V, E), V = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}, E = \{ e_{1}, \dots, e_{n} \}
• M(G) = (m_{ij})_{i = 1, \dots, n}^{j = 1, \dots, n} typu n/m
• m_{ij} \begin{cases} 1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ začíná ve vrcholu } v_{i}\\-1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ končí ve vrcholu } v_{i}\\0 \quad \text{ jinak (} e_{j} \text{ nekoliduje s } v_{i}\text{)} \end{cases}
• v každém sloupci je právě jedna 1 a právě jedna -1
• sloupce odpovídají dvěma protichůdným hranám (jsou lineárně závislé)

Incidenční matice neor. grafu

• M(G) = (m_{ij}) typu n/m
• m_{ij} \begin{cases} 1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ inciduje s vrcholem } v_{i}\\0 \quad \text{ jinak} \end{cases}

Matice sousednosti

• A(G) = (a_{ij}) řádu n
• a_{ij} = \begin{cases} 1 \quad \text{v G existuje hrana }(i,j)\\ 0 \quad \text{jinak} \end{cases}
• obecně A není symetrická
• pro neor. graf G (matice symetrické orientace)

Laplaceova matice neor. grafu G na n vrcholech

• L(G) = (l_{ij}) řádu n (symetrická)
• V = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}
• l_{ij} = \begin{cases} \deg(v_{i}) \quad \text{pro } i=j \\ -1 \quad\qquad v_{i}v_{j} \in E(G) \\ 0 \qquad\qquad \text{jinak} \end{cases}
• redukovaná Laplaceova matice L_{R}
• Tvrzení:
  • neor. graf G, H lib. (pevná) orientace grafu G
  • pak platí L(G) = M(H) \cdot M^T(H) \quad [L_{R}(G) = M_{R}(H) \cdot M_{R}^T(H)]
• Věty (2 lim. alg.):
  • matice A řádu n, B typu n/m
  • pokud A = B \cdot B^T, pak A je pozitivně semidefinitní
  • p.s.d. matice má nezáporná vl. čísla
  • Laplaceova matice neor. grafu je pozitivně semidefinitní

Vlastnosti incidenční matice orientovaného grafu

• G or. graf, G = (V, E), V = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}, E= \{ e_{1}, \dots, e_{n} \}
• M(G) = (m_{ij})
• Tvrzení:
  • or. graf G, buď K slabá komponenta G, pokud \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}v_{i} = 0, pak všechny v_{i} komponenty K jsou si příslušné koeficienty \alpha_{i} rovny
• Pozorování:
  • množin řádků M(G) je LZ (součet všech je nulový ř.)
  • \text{hod}(M(G)) < n
• Věta:
  • G or. slabě souvislý graf, pak h(M(G)) = n-1 \quad (n = \vert V(G)\vert)
  • dokonce lib. podmnožina n-1 řádků je LN
• Věta:
  • or. graf F má k slabých komponent \iff \text{hod}(M(G)) = n-k

Kostra orientovaného grafu

• G or. graf, H je kostra G, pokud symetrizace H je kostrou symetrizace G a H neobsahuje protichůdné hrany a smyčky
• značení: M(G), S množina sloupců M(G)
  • F_{S} ... faktor přiřazený vybrané množině sloupců S
  • e_{i} \in F_{S} \iff e_{i} \in S
• Věta:
  • G slabě souvislý or. graf bez smyček, potom čtvercová podmatice A_{S} matice M_{R}(G) řádu n-1 je regulární \iff odpovídající faktor F_{S} je kostrou G