Prostory se skalárním součinem

Skalární součin

Nechť U je lineární vektorový prostor nad \mathbb{R}. Zobrazení (\vec{x}, \vec{y}):U \times U \to \mathbb{R} splňující vlastnosti

(\vec{x}, \vec{x}) \geq 0 pro každé \vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0, právě když \vec{x} = \vec{o},
(\vec{x}, \vec{y}) = (\vec{y}, \vec{x}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U,
(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U a \forall k \in \mathbb{R}
(\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U,

se nazývá skalární součin.

Euklidovský prostor

Lineární vektorový prostor se skalárním součinem se nazývá Eukleidovský prostor.

Příklad:

\mathbb{R}^3 : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}
\displaystyle \mathbb{R}^n : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{1}y_{1} + \dots + x_{n}y_{n} = \sum^n_{i=1} x_{i}y_{i}
\displaystyle C(0, 1) : (f, g) = \int^1_{0} f(x) \cdot g(x) \, dx
\displaystyle \mathbb{P}_{n} : (p(x); q(x)) = \int^b_{a} p(x) \cdot q(x) \, dx

V Eukleidovském prostoru platí (pro každé k \in \mathbb{R} a $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U$):

(\vec{x}, k\vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y})
(\vec{x}, \vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{y}) + (\vec{x}, \vec{z})
(\vec{x}, \vec{o}) = (\vec{o}, \vec{x}) = 0

Cauchy-Schwarzova nerovnost - Je-li U Eukleidovský prostor, potom pro každé \vec{x}, \vec{y} \in U platí

(\vec{x}, \vec{y})^2 \leq (\vec{x}, \vec{x}) \cdot (\vec{y}, \vec{y}).

Norma

Norma v lineárním vektorovém prostoru U je zobrazení \Vert \vec{x} \Vert : U \to \mathbb{R} s vlastostmi

\Vert \vec{x} \Vert \geq 0 \, \forall \vec{x} \in U;\space \Vert \vec{x} \Vert = 0, právě když \vec{x} = \vec{o},
\Vert k\vec{x} \Vert = \vert k \vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert \ \forall\vec{x} \in U a \forall k \in \mathbb{R},
\Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert \leq \Vert \vec{x} \Vert + \Vert \vec{y} \Vert \ \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}.

Je-li U Eukleidovský prostor, potom \Vert \vec{x} \Vert = \sqrt{ (\vec{x}, \vec{x}) } je norma. Nazývá se norma indukovaná sklárním součinem.

Pro dva prvky x, y libovolného L.V.P. U lze definovat úhel dvou prvků

$$ \displaystyle \phi = \arccos \frac{(\vec{x}, \vec{y})}{\Vert \vec{x} \Vert \cdot \Vert \vec{y} \Vert}

a vzdálenost dvou prvků d(\vec{x}, \vec{y}) = \Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert. Vzdálenosti se obvykle říká metrika a příslušnému prostoru metrický prostor.

Ortogonalita

Dva prvky \vec{x}, \vec{y} Eukleidovského prostoru U jsou ortogonální (kolmé), jestliže (\vec{x}, \vec{y}) = 0.

Píšeme \vec{x} \perp \vec{y}.
Množiny X, Y, \subset U jsou ortiginální, jestliže \vec{x} \perp \vec{y} pro každé \vec{x} \in X a \vec{y} \in Y.

Každá podmnožina Eukleidovského prostoru, jejíž prvky jsou nenulové a navzájem ortogonální, je LN.

Žádný ze vzájemně kolmých vektorů není možné vyjádřit jako LK ostatních.

Pythagorova věta

Nechť U je Eukleidův prostor, \vec{x}, \vec{y} \in U. Potom

$$ \vec{x} \perp \vec{y} \iff \Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert^2 = \Vert \vec{x} \Vert^2 + \Vert \vec{y} \Vert^2.

Ortogonální báze

Báze Eukleidovského prostoru U, jejíž každé dva prvky jsou ortogonální.

např. kanonická báze

V každém Eukleidovském prostoru konečné dimenze existuje ortogonální báze.

Gram-Schmidtův ortogonalizační proces

určení ortogonální báze ze zadané báze

Mějme v U bázi \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{n}; hledáme ortogonální bázi \vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{n}.
Položíme \vec{g}_{1} = \vec{b}_{1}.
Určíme \displaystyle \vec{g}_{2} = \vec{b}_{2} - \frac{\vec{b}_{2}, \vec{g}_{1}}{(\vec{g}_{1}, \vec{g}_{1})} \vec{g}_{1}, což je ortogonální (kolmý) průmět vektoru \vec{b}_{2} do přímky dané vektorem \vec{g}_{1}. Platí, že \vec{g}_{2} \perp \vec{g}_{1}.
Obecně hledáme \vec{g}_{k} jako \vec{b}_{k} - \overline{\vec{b}_{k}}, kde \overline{\vec{b}_{k}} je ortogonální průmět prvku \vec{b}_{k} do podprostoru s ortogonální bází \vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k-1}. Tedy: $$ \displaystyle \vec{g}{k} = \vec{b}{k} - \biggl( \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{1})}{(\vec{g}{1}, \vec{g}{1})} \vec{g}{1} + \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{2})}{(\vec{g}{2}, \vec{g}{2})} \vec{g}{2} + \dots + \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{k-1})}{(\vec{g}{k-1}, \vec{g}{k-1})} \vec{g}_{k-1} \biggr).
Pak jistě \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{1}, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{k-1}.

4.8 KiB Raw Blame History