FAV-ZCU/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md

Lineární vektorové prostory

Příklady:

zápis	typ
R^2, R^3	geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách
R^n	n-tice reálných čísel (aritmetické vektory)
M_{m,n}	všechny matice typu m/n (nad R, nad $C$)
P_n	všechny polynomy stupně nejvýše n
C(a,b)	všechny funkce spojité na <a, b>

Vektorový prostor V nad tělesem K:

• sčítání: V + V \to V
• násobení: K \cdot V \to V

Lineární vektorový prostor

Lineární vektorový prostor nad tělesem $\mathbb T$ (nad \mathbb{C} nebo $\mathbb{R}$) je neprázdná množina \mathcal{V}, kde pro každé \vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{V} a pro každé k, l \in \mathbb T platí:

vlastnost	název
existuje právě jeden prvek \vec u \in \mathcal{V} tak, že \vec u = \vec x + \vec y	sčítání
existuje právě jeden prvek \vec u \in \mathcal{V} tak, že \vec u = k \vec x	násobení
(\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z)
existuje prvek \vec o \in \mathcal{V} takový, že \vec x + \vec o = \vec o + \vec x = \vec x	neutrální prvek
existuje prvek -\vec{x} takový, že \vec{x} + (-\vec{x}) = -\vec{x} + \vec{x} = \vec{o}	opačný prvek
(k+l)\vec x = k\vec x + l\vec x
(kl)\vec x = k(l\vec x)
1\vec x = \vec x
k(\vec x + \vec y) = k\vec x + k\vec y

Základní vlastnosti LVP

• nulový prvek je určen jednoznačně
• je-li \vec{x}+\vec{y}=\vec{x}+\vec{z}, pak \vec{y}=\vec{z}
• pro všechna \vec{x} \in \mathcal{V} je opačný prvek -\vec{x} určen jednoznačně
• je-li \vec{x}+\vec{y}=\vec{z}, pak \vec{x}=\vec{z}+(-\vec{y})
• pro všechna \vec{x} \in \mathcal{V} a k \in \mathbb{R} je 0\vec{x}=k\vec{o}=\vec{o}
• pro všechna \vec{x} \in \mathcal{V} je -1\vec{x}=-\vec{x}
• je-li k\vec{x}=\vec{o}, pak buď k=0 nebo \vec{x}=\vec{o}

Podprostor

Máme lineární vektorový prostor V a jeho podprostor U \subset V, jestliže

1. pro každé \vec{u}, \vec{v} \in U je \vec{u} + \vec{v} \in U
2. pro každé \vec{u} \in U a pro každé a \in K je a \cdot \vec{u} \in U
   • vyplývá, že v podprostoru U bude vždy i nulový vektor ($a = 0$)

Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.

Lineární kombinace

Prvek \lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k} (LK), kde \vec v_{i} jsou prvky LVP \mathcal{V} a \lambda_{i} jsou koeficienty.

Lineární (ne)závislost

Prvky nazveme lineárně nezávislými (LN), jestliže se žádný z nich nedá vyjádřit lineární kombinací ostatních prvků (neboli LK = \vec{o}, jedině když $\lambda=0$). V opačném případě budou prvky lineárně závislé (LZ).

Lineární obal

Všechny lineární kombinace zadaných vektorů.

• zapisujeme \langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}

Generující množina

Množina M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy \langle M \rangle = V.

Báze

Je-li generující množina prostoru V lineárně nezávislá, jedná se také o bázi prostoru V.

• zápis: \text{báze }A = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\}

Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu do sloupců matice a provedu GJEM, čímž zjistím, jestli se nedá některý z vektorů vyjádřit jako LK jiného vektoru (tedy vyjde jako parametr).

Dimenze V

Počet prvků báze V se nazývá dimenze V a značí se dim(V).

Dimenzi vypočítám zjištěním báze, kde počet prvků báze je roven dimenzi V.

Souřadnice v bázi

Jednoznačně určené koeficienty c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R} LK v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}} se nazývají souřadnice prvku v v bází B.

• značí se \widehat{v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T

Pořadí prvků v bázi je důležité! Při změně pořadí se změní i pořadí souřadnic:

B_{1} = \{ \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{1}} = [1, 2, 3]

B_{2} = \{ \vec{b_{2}}, \vec{b_{1}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{2}} = [2, 1, 3]

Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků.

\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}

\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}

Určení souřadnic vektoru v bázi

1. Bázové prvky zapíšeme do levé strany matice do sloupců.
2. Vektor zapíšeme do pravé strany matice.
3. Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice.
4. Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi.

Operace s podprostory

• Sjednocení u_{1} \cup u_{2}
  • Musí platit:
    • u_{1} \subseteq u_{2}
    • u_{2} \subseteq u_{1}