FAV-ZCU/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md

Lineární zobrazení

• U = R^4 - před zobrazením
• V = R^3 - po zobrazení
• \mathbb{L} : U \to V

Ověření linearity zobrazení

• zkontrolovat, že platí
  • \mathbb{L}(V + V) = \mathbb{L}(V) + \mathbb{L}(V)
  • \mathbb{L}(k \cdot V) = k \cdot \mathbb{L}(V)

Jádro

• všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0
• zjištění přes zjištění LK
  • Ker \space \mathbb{L} = \{ \mathbb{L}(V) = 0 \}
• zápis: Ker \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle

Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobrazí na nulový vektor (tedy si vyjádřím např. $a, b, c$).

Obraz

• všechny LK vektorů po zobrazení
• zápis: Im \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle

Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze).

Prosté zobrazení

Každý prvek z prostoru U se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru V.

• \dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}

Izomorfní zobrazení

Lineární zobrazení je izomorfizmem, pokud je prosté a zároveň \dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V).

Matice lineárního zobrazení

Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení.

Postup:

• Určete matici zobrazení \mathbb{L} v bázích B_{1} a B_{2}.

1. Vektory první báze zobrazím pomocí lineárního zobrazení.
2. Zobrazené vektory napíšu do sloupců matice A_{2}.
3. Do matice A_{1} napíšu do sloupců vektory ze druhé báze.
4. Matice spojím do matice A = [A_{1} \mid A_{2}], kterou vyřeším pomocí GJEM.
5. Na levé straně díky GJEM dostanu jednotkovou matici a na pravé straně vznikne matice lineárního zobrazení.