FAV-ZCU/KFY FYI1/Priklad08.md

Zadání

Balistické kyvadlo je tvořeno truhlíkem s pískem zavěšeným na dlouhých drátech. Vstřelíme-li do truhlíku projektil, kyvadlo se vychýlí, a na základě této výchylky určete rychlost střely.

• M - hmotnost bal. kyvadla
• l - délka závěsu
• m - hmotnost střely
• v_{0} = \, ?

• předpoklady:
  • tíhové pole Země
  • střela v truhlíku uvázne
• zákon zachování mechanické energie
  • W_{kin} + W_{pot} = \text{konst.}
• zákon zachování hybnosti
  • \vec p = \text{konst.}
• z obrázku platí
  • (l-h)^2 + d^2 = l^2
  • \cancel{l^2} - 2lh + h^2 + d^2 = \cancel{l^2}
  • 2lh = h^2 + d^2
  • \displaystyle \frac{2lh}{d^2} = \frac{h^2}{d^2} + 1
  • pro velká h:
    • h \ll d \implies \text{zanedbáme} \, \frac{h^2}{d^2}
  • h = \frac{d^2}{2l}

Výpočet

\displaystyle \frac{1}{2}\cancel{(m+M)} \cdot W^2 + 0 = 0 + \cancel{(m+M)} \cdot g \cdot h

m \cdot v_{0} = (m+M) \cdot W

v_{0} = \frac{m+M}{m} \cdot W

• W^2 = 2gh
• W = \sqrt{ 2gh }
• \displaystyle v_{0} = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ 2gh } ... pro svislou výchylku h

Výsledek

dosadíme h

• \displaystyle v_{0} = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ \cancel{2} \cdot g \cdot \frac{d^2}{\cancel{2}l} } = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ \frac{g}{l} } \cdot d
• pro vodorovnou výchylku d