FAV-ZCU/KMA M1/7. Neurčité integrály.md

Neurčité integrály

Primitivní funkce

Mějme funkce f a F, které jsou definované alespoň na intervalu (a;b), kde -\infty \leq a < b \leq +\infty. Řekněme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu (a;b), pokud

\forall \space x \in (a;b) : F'(x) = f(x).

Nechť F je primitivní funkce k funkci f na intervalu (a; b). Potom platí:

1. F je spojitá na (a; b).
2. Každá funkce ve tvaru y = F (x) + C, kde C \in \mathbb{R}, je primitivní funkcí k funkci f na (a; b).
3. Každá primitivní funkce k funkci f na (a; b) je ve tvaru y = F (x) + C, kde C \in R.

Neurčitý integrál

Mějme funkce f a F, které jsou definované alespoň na intervalu (a;b), kde -\infty \leq a < b \leq +\infty. Existuje-li primitivní funkce F k funkci f na (a;b), potom říkáme, že funkce f je integrovatelná na intervalu (a;b) a neurčitým integrálem funkce f na intervalu (a;b) rozumíme množinu všech primitivních funkcí k funkci f na (a;b): $$ \int f(x) , dx = {F(x) + C : C \in \mathbb{R}} \quad (\text{píšeme jen } F(x) + C; C \in \mathbb{R})

Je-li funkce f spojitá na intervalu (a; b), potom je na tomto intervalu integrovatelná.

Integrační vzorce

funkce	integrace
0	C
1	x + C
x^n	\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}
\frac{dx}{x}	\ln \vert x\vert + C
e^x	e^x + C
a^x	\displaystyle\frac{a^x}{\ln(a)} + C
\sin(x)	-\cos(x) + C
\cos(x)	\sin(x) + C
\displaystyle\frac{dx}{\cos^2x}	\tan(x) + C
\displaystyle\frac{dx}{\sin^2x}	-\cot(x) + C
\displaystyle\frac{dx}{1+x^2}	\arctan(x) + C
\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{ 1-x^2 }}	\arcsin(x) + C