FAV-ZCU/KFY FYI1/Priklad06.md

Zadání

Vypočítejte moment setrvačnosti homogenního válce o poloměru R a hmotnosti m vzhledem k rotační ose symetrie.

• homogenní válec \to \rho = \text{konst.} (hustota)
• poloměr R
• hmotnost m
• moment setrvačnosti J = \, ?

• tloušťka stěny dr
• poloměr trubky r
• délka válce l

Výpočet

• J = \int dJ = \int_{m} r^2 \cdot dm
• dm - kolmá vzdálenost rotace od osy rotace
  • \rho = \frac{dm}{dV} \implies dm = \rho \cdot dV
• dV - diferenciální objem válce
  • dV = dS \cdot l = 2\pi r \cdot dr \cdot l
• dS - diferenciální plocha boční stěny válce
  • dS = 2\pi r \cdot dr

J = \int_{m} r^2 \cdot dm = \int_{V} r^2 \cdot \rho \cdot dV = \int_{0}^{R} r^2 \cdot \rho \cdot 2\pi r \cdot l \cdot dr = \pi \cdot l \cdot \rho \cdot \frac{R^4}{2}

Výsledek

J = \frac{1}{2} \pi \cdot R^2 \cdot l \cdot \rho \cdot R^2 = \frac{1}{2}m \cdot R^2

• S = \pi \cdot R^2
• v = S \cdot l
• m = v \cdot \rho