FAV-ZCU/KMA DMA/Prednaska07.md

Tabulka pokrytí

	x	y	z	0	1	4	5	6
0, 1, 4, 5	-	0	-	0	0	0	0		\overline y
4, 6	1	-	0			0		0	x \overline z

• minimální disj. forma: f(x, y, z) = \overline y + x \overline z
• každý prvek množiny \{ 0, 1, 4, 5, 6 \} musí být obsažen v alespoň jedné množině vybraných podmnožin
• \to minimalizace počtu překrývajících podmnožin

x	y	x \mid y	x \downarrow y	(x \mid y) \mid (x \mid y)	(x \downarrow y) \downarrow (x \downarrow y)
0	0	1	1	0	0
0	1	1	0	0	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1

• Schefferova NAND
  • (x \mid y) \mid (x \mid y) = x \wedge y \quad "x a zároveň y"
• Peirceova NOR
  • (x \downarrow y) \downarrow (x \downarrow y) = x \vee y \quad "x nebo y"
• SAT úloha (SAT problem) - otázka: je B. f. splnitelná pro alespoň 1 vstup
  • ? jak rychle to jde
  • P \neq NP

Teorie grafů

• Neorientované grafy
  • X množina (konečná), x \choose 2 - množina všech dvouprvkových podmnožin množiny X, ta má \mid x\mid\choose 2
  • neorientovaný graf G = (V, E) - V vertex, E edge
    • V konečná množina [množina vrcholů]
    • E \leq {V\choose 2} [množina hran]
    • odpovídá relaci na V, která je antireflexivní a symetrická
  • speciální grafy
    • cesta 1 - 2 - 3 - 4 - \dots - n na n vrcholech Pn délky n-1
  • bipartitní graf K_{m, n}
    • V = A \cup B, A \cap B = \emptyset
    • E \subseteq \{ \{a,b\} \mid a \in A, b \in B \}
    • K_{2,3}
  • úplný graf K_{n}
    • V = \{ 1, \dots, n \}
    • E = {V\choose 2}
  • diskrétní graf
    • E = \emptyset
• Rovnost grafů G_{1} = G_{2}
  • G_{1} = (V_{1}, E_{1}), G_{2} = (V_{2}, E_{2}), pokud V_{1} = V_{2}, E_{1} = E_{2}
• Homomorfismus
  • G_{1} = (V_{1}, E_{1})
  • G_{2} = (V_{2}, E_{2})
  • f: V_{1} \to V_{2} je homomorfismus, pokud platí
    • xy \in E_{1} \implies f(x)f(y) \in E_{2}
  • zobrazení indukované zobrazením f: f^*
    • f^* : {V_{1}\choose 2} \to {V_{2}\choose 2}
    • f^*(uv) = f(u)f(v)
• Morfismy grafů
  • f se nazývá
    • vzcholový monomorfismus, j-li f prosté (injektivní)
    • vrcholový epimorfismus, je-li f na (surjektivní)
    • hranový monomorfismus, je-li f^* prosté
    • hranový epimorfismus, je-li f^* na
    • monomorfismus, jsou-li f, f^* prosté
    • epimorfismus, je-li f, f^* na
    • izomorfizmus, je-li f, f^* prosté i na
  • G_{1}, G_{2} jsou izomorfní G_{1} \approxeq G_{2}, pokud existuje izomorfizmus
    • f: V(G_{1}) \to V(G_{2})
    • přenáší hrany na hrany a nehrany na nehrany
    • ? jak rychle rozhodnout, zda 2 grafy jsou izomorfní ?
  • automorfisms grafu G: izomorfismus G \to G
    • všechny izomorfismy G \to G triviální: identické zobrazení
    • složení izomorfismů (automorfismů) je opět izomorfismus (automorfismus)
    • \forall izomorfismus (automorfismus) \exists izomorfismus (automorfismus) inverzní
    • \exists identický automorfismus
      • množina automorfismů s operací skládání tvoří grupu
      • Aut(G)
• stupeň vrcholu v
  • okolí vrcholu v
    • otevřené okolí: N(v) = \{ u \in V \mid uv \in E \}
    • uzavřené okolí: N[v] = N(v) \cup \{ v \}
  • \deg_{G}(v) = \text{d}_{G}(v) = \vert N(v) \vert
  • minimální stupeň grafu
    • \delta(G) = \min\{ \deg_{G}(v) \mid v \in V \}
  • maximální stupeň grafu
    • \Delta(G) = \max\{ \deg_{G}(v) \mid v \in V \}
  • časté značení \vert V(G) \vert = n, \vert E(G)\vert = m
    • \deg_{G}(v) \leq n-1 = \vert V(G) \vert - 1
    • \Delta(G) \leq \vert V(G) \vert - 1
  • Věta: \sum_{v \in V} \deg_{G}(V) = 2m = 2 \cdot \vert E(G) \vert
    • důsledek: počet vrcholů lichého stupně je v grafu vždy sudý
      • handshaking lemma
• skóre grafu
  • posloupnost stupňů všech vrcholů seřazená nerostoucím způsobem
  • graf \to skóre (soubor stupňů)
  • ? posloupnost čísel \to skóre
    • pro danou posloupnost rozhodnout, zda je skóre nějakého grafu
    • např. 6, 6, 6 - graf neexistuje
  • Věta (Havel, Hakimi)
    • d = (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}) \quad d_{1} \geq d_{2} \geq \dots \geq d_{n}, n \geq 2
      • je grafová, právě tehdy když
      • d' = (d_{2}-1, \dots, d_{d_{1}+1}-1, d_{d_{1}+2}, \dots, d_{n}) je grafová
    • Př.: 4, 4, 3, 2, 1, 1 \to 3, 2, 1, 0, 1 \to 3, 2, 1, 1, 0 \to 1, 0, 0, 0
      • není grafová