FAV-ZCU/KIV TI/Cvičení/Cviceni11.md

Př. 1: Vypočítejte nad tělesem Z_{5}.

(2x^4 + 3x^3 + 4) \cdot (3x^3 + 4x^2 + 2x + 1) =

$$ = (x^7 + 3x^6 + 4x^5 + 2x^4) + (4x^6 + 2x^5 + x^4 + 3x^3) + (2x^3 + x^2 + 3x + 4) = x^7 + 2x^6 + x^5 + 3x^4 + x^2 + 3x + 4

Př. 2: Vypočítejte nad tělesem Z_{5}/x^4-1.

(2x^4 + 3x^3 + 4) * (3x^3 + 4x^2 + 2x + 1) =

Pozn.: výsledkem násobení * je zbytek výsledku součinu po dělení x^4 - 1 (resp. x^4 + 4, protože -1 je v tomto tělese 4)

• x^4 = 1
• u(x) = 1 + x^2 + x^3
• u = [1011]
  • proto v u(x) není x (druhá pozice)
• u(x) \cdot x = x + x^3 + x^4
  • x^4 převedeme na 1

$$ = x^3 + 2x^2 + x + 3 + x^2 + 3x + 4 = x^3 + 3x^2 + 4x + 2

Př. 3: Vypočítejte v Z_{2}/x^4-1

(x^2 + 1) * (x^2 + x + 1)

$$ \cancel{x^4} + x^3 + \cancel{x^2 + x^2} + x + \cancel{1} = x^3 + x

Př. 4: Binární cyklický kód vznikne ze slova 110110 cyklickými posuvy a součty. Určete všechny značky kódu K, generující mnohočlen g(x), kontrolní mnohočlen h(x), generující matici G a kontrolní matici H.

značky:

• vždy posunuté o jednu pozici doleva
• u_{1} = [110110]
• u_{2} = [011011]
• u_{3} = [101101]

• u_{1} + u_{2} = [101101] = u_{3}
• u_{1} + u_{3} = [011011] = u_{2}
• u_{2} + u_{3} = [110110] = u_{1}
• u_{1} + u_{2} + u_{3} = [000000]

• 4 unikátní značky

rozměry:

• k = 2
• n = 6
• stupeň g(x) = n-k = 4

generující mnohočlen:

• je nenulový a má nejnižší stupeň ze všech značek
• g(x) = 1 + x + x^3 + x^4 ($u_{1}$)
• prvky g_{0}, g_{1}, g_{2}, g_{4}, g_{5}

kontrolní mnohočlen:

• h(x) = x^n - 1 : g(x)
• h(x) = (x^6 + 1) : (x^4 + x^3 + x + 1) = x^2 + x + 1

(x^6 + 1) : (x^4 + x^3 + x + 1) = x^2 + x + 1

• -(x^6 + x^5 + x^3 + x^2)
  • x^5 + x^3 + x^2 + 1
  • - (x^5 + x^4 + x^2 + x)
    • x^4 + x^3 + x + 1
    • -(x^4 + x^3 + x + 1)
      • \emptyset

generující matice:

• první řádek je g(x)
• další řádky jsou vždy násobené x, tedy posunuté o jednu pozici doleva
• nenulový pás z horního levého rohu do dolního pravého

$$ G = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}

kontrolní matice:

• první řádek je obráceně, tedy h_{5}, h_{4}, h_{3}, h_{2}, h_{1}, h_{0}
• každý další řádek posunutý o jednu pozici doprava
• nenulový pás z horního pravého rohu do dolního levého rohu

$$ H = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Př. 5: Vytvořte cyklický kód pro kódování čtyřprvkových informační částí. Generující mnohočlen je g(x) = 1 + x + x^3. Kódování proveďte jak pomocí generující matice, tak i pomocí generujícího mnohočlenu.

rozměry:

• k = 4
• n - k = 3
• \implies n = 7

generující matice:

$$ G = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

kódování pomocí G:

• u = [1110]^\text{T}\quad (1 + 2 + 4 = 7)
• označím 1., 2. a 3. řádek (tyto pozice jsou v u nenulové)
  • poté sčítám v G vetikálně do v
• v = [1000110]^\text{T}
• první, třetí a čtvrtý prvek přenášen čistě (na poziciích 1, 6 a 7)

kódování pomocí g(x):

• v(x) = u(x) \cdot g(x) = (1 + x + x^2) \cdot (1 + x + x^3)
• = (1 + x + x^3) + (x + x^2 + x^4) + (x^2 + x^3 + x^5) = 1 + x^4 + x^5

číslo	informační část	kód
0	0000	0000000
1	1000	1101000	+
2	0100	0110100	+
3	1100	1011100	o
4	0010	0011010	+
5	1010	1110010	o
6	0110	0101110	o
7	1110	1000110	+
8	0001	0001101	+
9	1001	1100101	o
10	0101	0111001	o
11	1101	1010001	+
12	0011	0010111	o
13	1011	1111111
14	0111	0100011	+
15	1111	1001011	o

Pozn.: Označené kódy jsou posuvy toho prvního označeného.