FAV-ZCU/KIV TI/Cvičení/Cviceni12.md

Př. 1: Vytvořte systematický cyklický kód s generujícím mnohočlenem g(x) = 1 + x + x^3. Vypočtěte všechny značky a vhodně zvolte generující matici.

• u = [1110]^\text{T}
• u(x) = x^3 + x^2 + x

• u(x) \cdot x^{n-k}
  • (x^3 + x^2 + x) \cdot x^3 = x^6 + x^5 + x^4
• u(x) \cdot x^{n-k} : g(x) = \cancel{q(x)}, z(x)
  • u(x) \cdot x^{n-k} = q(x) \cdot g(x) + z(x)
  • u(x) \cdot x^{n-k} + z(x) = q(x) \cdot g(x)

• v(x) = u(x) \cdot x^{n-k} + z(x)
  • z(x) má stupeň nejvýše n-k-1

(x^6 + x^5 + x^4) : (x^3 + x + 1) = x^3 + x^2

• x^2 = z(x)

v(x) = u(x) \cdot x^{n-k} + z(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^2

• v = [1110100]^\text{T}

číslo	informační část	kód
0	0000	0000000
1	0001	0001011	+
2	0010	0010110	+
3	0011	0011101	o
4	0100	0100111	o
5	0101	0101100	+
6	0110	0110001	+
7	0111	0111010	o
8	1000	1000101	+
9	1001	1001110	o
10	1010	1010011	o
11	1011	1011000	+
12	1100	1100010	+
13	1101	1101001	o
14	1110	1110100	o
15	1111	1111111

$$ G = \left[\begin{array}{cccc:ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]

v = G^\text{T} \cdot u = [1110100]^\text{T}

Blok dat

• [][][][][][][][a][00000000][00000000]
  • a = zarovnání na sudou délku
  • zbytek
    • R_{15}R_{14}\dots R_{0}
    • tím se nahradí nuly na konci

Př. 2:

• \mathcal{A}_{1} : \neg A \to B
• \mathcal{A}_{2} : \neg B \leftrightarrow C
• \mathcal{B}: C \to A
• Logicky vyplývá \mathcal{B}?
  • ano, vyplývá

ABC	\neg A \to B	\neg B \leftrightarrow C	(1) \wedge (2)	C \to A	(3) \to (4)
000	0	0	0	1	1
001	0	1	0	0	1
010	1	1	[1]	[1]	1
011	1	0	0	1	1
100	1	0	0	1	1
101	1	1	[1]	[1]	1
110	1	1	[1]	[1]	1
111	1	0	0	1	1

• (\mathcal{A}_{1} \wedge \mathcal{A}_{2} \wedge \dots \wedge A_{n}) \to \mathcal{B} je tautologie
• (\mathcal{A}_{1} \wedge \mathcal{A}_{2} \wedge \dots \wedge A_{n} \wedge \neg\mathcal{B}) je kontradikce

• \mathcal{B}: C \to A
• \neg\mathcal{B}: C \wedge \neg A

ABC	\neg A \to B	\neg B \leftrightarrow C	C	\neg A
000	0 x
001	0 x
010	1	1	0 x
011	1	0 x
100	1	0 x
101	1	1	1	0 x
110	1	1	0 x
111	1	0 x

• \mathcal{B} logicky vyplývá z \{\mathcal{A}_{1}, \mathcal{A}_{2}\}

Př. 3: Úsudek (ověření korektnosti úsudku)

• Rozhodněte, zda je následující úsudek korektní:
• premisy:
  1. Na zájezd pojede Olda nebo Pavel.
  2. Jestliže pojede Pavel, pojede Simona a nepojede Renata.
  3. Jestliže pojede Tomáš, pojede i Renata.
  4. Jestliže pojede Simona, pojede i Tomáš.
• závěr: Olda pojede na zájezd.

číslo
1	O \vee P
2	P \to (S \wedge \neg R)	(\neg P \vee S) \wedge (\neg P \vee \neg R)
3	T \to R	(\neg T \vee R)
4	S \to T	(\neg S \vee T)

• závěr: O

$$ (O \vee P) \wedge (\neg P \vee S) \wedge (\neg P \vee \neg R) \wedge (\neg T \vee R) \wedge (\neg S \vee T) \wedge \neg O

• má být kontradikce
• hledám ohodnocení v němž mají všechny závorky hodnotu 1
  • O musí být 0
  • P musí být 1
  • S musí být 1
  • R musí být 0
  • T musí být 0
  • S musí být 0 (ale už musí být 1) SPOR!

Tento úsudek je korektní.

• pokud jsou splněny předpoklady, závěr platí
• pokud ne, může se stát cokoliv

Konjunktivní forma:

• (. \vee . \vee .) \wedge (. \vee . \vee .) \wedge \dots \wedge (. \vee . \vee .)

• (T \to R) \leftrightarrow (\neg T \vee R)
• P \to (S \wedge \neg R)
• \neg P \vee (S \wedge \neg R)
• (\neg P \vee S) (\neg P \vee \neg R)