Hodnost matice

Počet nenulových řádků matice po provedení GEM (Gaussova eliminační metoda), kterou dostaneme matici s nenulovými čísly nad diagonálou a na ní.

Při použítí GEM můžeme:

přičíst libovolný nenulový násobek řádku k jinému řádku,
libovolně násobit jednotlivé řádky (ne nulou).

Soustava rovnic

Soustava m rovnic pro n neznámých:

$$ \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \dots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} + \dots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \ \vdots \qquad\qquad\qquad \vdots \ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + a_{m3}x_{3} + \dots + a_{mn}x_{n} = b_{n} \end{matrix}

Soustavu zapíšeme maticově:

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}, \qquad \vec{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \ x_{2} \ \vdots \ x_{n} \end{bmatrix}, \qquad \vec{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \ b_{2} \ \vdots \ b_{m} \end{bmatrix}

Potom A je matice soustavy (typu $m/n$), \vec{x} je vektor (sloupec) neznámých a \vec{b} je vektor (sloupec) pravých stran.

Soustavu zapisujeme jako A\vec{x} = \vec{b}.

Dvě soustavy se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejnou množinu řešení.

Rozšířená matice soustavy

Zápis soustavy do matice, kde svislá čára značí =, značíme ji jako A^R = [A \mid \vec{b}].

Frobeniova podmínka řešitelnosti

Nehomogenní soustava rovnic A\vec{x} = \vec{b} má řešení právě tehdy, když hod(A^R) = hod(A).

Typy soustav

homogenní
- s nulovým sloupcem vpravo (nemusí se psát)
nehomogenní
- s čísly vpravo oddělenými svislou čárou (značí $=$)

Řešení soustavy

přepíšu do matice a vyřeším pomocí GEM/GJEM
najdu pivoty (první nenulové číslo v řádku) a ke sloupcům bez pivota přiřadím parametry (např.: $x_3 = t, t \in R$)
řádky zapíšu jako rovnice (např.: $2x_1 + 3x_2 + x_4 = 0$)
z rovnic vyjádřím jednotlivá x

Možná řešení

soustava nemá řešení
soustava má jedno řešení
soustava má nekonečně mnoho řešení

Eukleidův algoritmus

Algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele čísel a a b. Největšího společného dělitele označíme jako \gcd(a, b).

Mějme a = 57, b = 27. Platí, že c = \gcd(a, b) dělí a a rovněž b, dělí tedy i rozdíl a-b = 30. Pokud nyní najdeme \gcd(30, 27), získáme i \gcd(57, 27). Aplikacím tohoto postupu dostaneme postupně \gcd(30, 27) = \gcd(3, 27) = 3, tedy i \gcd(57, 27) = 3.

TODO: Rozšířený euklidův algoritmus

Stanovení inverzního prvku

Prvek a^{-1}, pro který platí a \oplus a^{-1} = 0.

Příklad: Pokud máme modulo 5, tak inverzní prvek k prvku 4 bude 1, protože 4 + 1 = 0.

2.9 KiB Raw Blame History