Doplnění příkladů z DMA

KMA DMA/Příklady/00. Písemná část.md

@@ -2,16 +2,16 @@
 
 4 úlohy z témat + 4 definice nebo znění vět (90 minut). (Z pojmové části je nutné získat alespoň jeden bod.)
 
-Homogenní rekurentní rovnice (stanovení řešení)
+**Homogenní rekurentní rovnice** (stanovení řešení)
 
-Modulární počítání (hodnost matice, soustava rovnic, Eukleidův algoritmus, stanovení inverzního prvku)
+**Modulární počítání** (hodnost matice, soustava rovnic, Eukleidův algoritmus, stanovení inverzního prvku)
 
-Relace (vlastnosti, reflexívně-tranzitivní uzávěr)
+**Relace** (vlastnosti, reflexívně-tranzitivní uzávěr)
 
-Uspořádání, svazy, Booleovy algebry (suprema, infima, distributivita, komplementarita, Hasseův diagram)
+**Uspořádání, svazy, Booleovy algebry** (suprema, infima, distributivita, komplementarita, Hasseův diagram)
 
-Počet koster grafu (Laplaceova matice, incidenční matice orientace grafu)
+**Počet koster grafu** (Laplaceova matice, incidenční matice orientace grafu)
 
-Booleovské funkce (ÚDNF, ÚKNF, Quineho-McCluskeyho algoritmus)
+**Booleovské funkce** (ÚDNF, ÚKNF, Quineho-McCluskeyho algoritmus)
 
-(Vážená) vzdálenost v grafech (mocninná metoda, Dijkstrův algoritmus, Floydův-Warshallův algoritmus)
+**(Vážená) vzdálenost v grafech** (mocninná metoda, Dijkstrův algoritmus, Floydův-Warshallův algoritmus)

KMA DMA/Příklady/01. Homogenní rekurentní rovnice.md

@@ -0,0 +1,11 @@
+# Homogenní rekurentní rovnice
+
+**Příklad**:
+- Fibonacciho čísla - $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...$
+- $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$
+
+Jak zjistit 1000. člen?
+
+$F_n$ jako funkce $n$
+- $F_{n-1} = F_{n-1}$
+- $f_{n} = (F_{n}, F_{n-1})^T, \quad f_{n-1} = (F_{n-1}, F_{n-2})^T$

KMA DMA/Příklady/02. Modulární počítání.md

@@ -0,0 +1,89 @@
+# Hodnost matice
+
+Počet nenulových řádků matice po provedení GEM (Gaussova eliminační metoda), kterou dostaneme matici s nenulovými čísly nad diagonálou a na ní.
+
+Při použítí GEM můžeme:
+- přičíst libovolný nenulový násobek řádku k jinému řádku,
+- libovolně násobit jednotlivé řádky (ne nulou).
+
+# Soustava rovnic
+
+Soustava $m$ rovnic pro $n$ neznámých:
+
+$$
+\begin{matrix}
+a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \dots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\
+a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} + \dots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\
+\vdots \qquad\qquad\qquad \vdots \\
+a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + a_{m3}x_{3} + \dots + a_{mn}x_{n} = b_{n}
+\end{matrix}
+$$
+
+Soustavu zapíšeme maticově:
+
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
+a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
+\end{bmatrix}, \qquad \vec{x} = \begin{bmatrix}
+x_{1} \\
+x_{2} \\
+\vdots \\
+x_{n}
+\end{bmatrix}, \qquad \vec{b} = \begin{bmatrix}
+b_{1} \\
+b_{2} \\
+\vdots \\
+b_{m}
+\end{bmatrix}
+$$
+
+Potom A je **matice soustavy** (typu $m/n$), $\vec{x}$ je **vektor (sloupec) neznámých** a $\vec{b}$ je **vektor (sloupec) pravých stran**.
+
+Soustavu zapisujeme jako $A\vec{x} = \vec{b}$.
+
+Dvě soustavy se nazývají **ekvivalentní**, jestliže mají stejnou množinu řešení.
+
+### Rozšířená matice soustavy
+
+Zápis soustavy do matice, kde svislá čára značí $=$, značíme ji jako $A^R = [A \mid \vec{b}]$.
+
+### Frobeniova podmínka řešitelnosti
+
+Nehomogenní soustava rovnic $A\vec{x} = \vec{b}$ má řešení právě tehdy, když $hod(A^R) = hod(A)$.
+
+### Typy soustav
+
+- **homogenní**
+	- s nulovým sloupcem vpravo (nemusí se psát)
+- **nehomogenní**
+	- s čísly vpravo oddělenými svislou čárou (značí $=$)
+
+### Řešení soustavy
+
+1. přepíšu do matice a vyřeším pomocí GEM/GJEM
+2. najdu pivoty (první nenulové číslo v řádku) a ke sloupcům bez pivota přiřadím parametry (např.: $x_3 = t, t \in R$)
+3. řádky zapíšu jako rovnice (např.: $2x_1 + 3x_2 + x_4 = 0$)
+4. z rovnic vyjádřím jednotlivá x
+
+#### Možná řešení
+
+- soustava nemá řešení
+- soustava má jedno řešení
+- soustava má nekonečně mnoho řešení
+
+# Eukleidův algoritmus
+
+Algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele čísel $a$ a $b$. Největšího společného dělitele označíme jako $\gcd(a, b)$.
+
+Mějme $a = 57, b = 27$. Platí, že $c = \gcd(a, b)$ dělí $a$ a rovněž $b$, dělí tedy i rozdíl $a-b = 30$. Pokud nyní najdeme $\gcd(30, 27)$, získáme i $\gcd(57, 27)$. Aplikacím tohoto postupu dostaneme postupně $\gcd(30, 27) = \gcd(3, 27) = 3$, tedy i $\gcd(57, 27) = 3$.
+
+TODO: Rozšířený euklidův algoritmus
+
+# Stanovení inverzního prvku
+
+Prvek $a^{-1}$, pro který platí $a \oplus a^{-1} = 0$.
+
+**Příklad**: Pokud máme modulo 5, tak inverzní prvek k prvku $4$ bude $1$, protože $4 + 1 = 0$.

KMA DMA/Příklady/03. Relace.md

@@ -0,0 +1,17 @@
+# Relace
+
+## Určení vlastností
+
+TODO
+
+## Reflexívně-tranzitivní uzávěr
+
+Nechť $R$ je relace na množině $X$. Pro reflexivní uzávěr $R^x$ relace $R$ platí
+- $R^x = R \cup E_{x}$ ($E_{x}$ je identická relace na $X$)
+- $R^x$ je nejmenší nadrelace $R$, takže $R^x$ je reflexivní
+
+**Příklad**: Mějme relaci $R$ na množině $X = \{ a, b \}$.
+- $R = (b, a)$
+- $E_{x} = \{ (a, a), (b, b) \}$
+- $R^x = R \cup E_{x}$
+- přidají se reflexivní relace všech prvků $X$

KMA DMA/Příklady/04. Uspořádání, svazy, Booleovy algebry.md

@@ -0,0 +1,4 @@
+# Uspořádání, svazy, Booleovy algebry
+
+suprema, infima, distributivita, komplementarita, Hasseův diagram
+- viz příslušné otázky

KMA DMA/Příklady/05. Počet koster grafu.md

@@ -0,0 +1,5 @@
+# Počet koster grafu
+
+Počet koster grafu je roven determinantu matice $L' = M_{R}(G) \cdot M_{R}(G)^T$.
+
+Je tedy potřeba sestavit buď incidenční matici nebo Laplaceovu matici grafu $G$ a z ní vytvořit redukovanou incidenční matici (vyškrtnutím posledního řádku) nebo matici $L'$ (vyškrtnutím posledního řádku a sloupce).

KMA DMA/Příklady/06. Booleovské funkce.md

@@ -32,3 +32,57 @@ Zkusíme získat i ÚDNF:
 
 $f(x, y) = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee y = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee (y \wedge 1) = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee [y \wedge (\overline{x} \vee x)] = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee (\overline{x} \wedge y) \vee (x \wedge y)$
 - máme spojení 3 průsekových klauzulí, jedná se tedy o ÚDNF
+
+# Quineho-McCluskeyho metoda
+
+- minimální disjunktivní forma, součet co nejmenšího počtu součinů
+
+**Příklad**
+
+ÚDNF: $\overline{x} \overline{y} \overline{z} + \overline{x} \overline{y} z + x \overline{y} \overline{z} + x \overline{y} z + x y \overline{z}$
+
+| $x$ | $y$ | $z$ | $f(x,y,z)$ |
+| --- | --- | --- | ---------- |
+| 0   | 0   | 0   | 1          |
+| 0   | 0   | 1   | 1          |
+| 0   | 1   | 0   | 0          |
+| 0   | 1   | 1   | 0          |
+| 1   | 0   | 0   | 1          |
+| 1   | 0   | 1   | 1          |
+| 1   | 1   | 0   | 1          |
+| 1   | 1   | 1   | 0          | 
+
+Z tabulky vybereme koeficienty tam, kde vychází funkce $1$:
+1. 0 0 0
+2. 0 0 1
+3. 1 0 0
+4. 1 0 1
+5. 1 1 0
+
+Z těchto vybraných kombinací vybereme všechny dvojice, které se liší o jednu pozici a tu nahradíme pomlčkou:
+- 1, 2: **0 0 -**
+- 1, 3: **- 0 0**
+- 2, 4: **- 0 1**
+- 3, 4: **1 0 -**
+- 3, 5: **1 - 0**
+
+Pokračujeme stejným způsobem:
+- 1, 2, 3, 4: **- 0 -** ($\overline{y}$)
+- 1, 3, 2, 4: **- 0 -** (máme dvě stejné, jednu vyškrtneme)
++ pro 3, 5 nezbyla žádná dvojice, přepíšeme tedy do klauzule $x \overline{z}$
+
+Výsledek je $f(x, y, z) = x \overline{z} + \overline{y}$ (součet prostých implikantů).
+- vynechání některých součinů, takže výsledek je stále roven funkci $f$
+
+Mějme Booleovy polynomy $f, p$. Součin literálů je implikantem funkce $f$, pokud $p \leq f$. Implikant je prostý, pokud součin vzniklý odstraněním libovolných literálů z $p$ přestane být implikantem $f$.
+
+## Tabulka pokrytí
+
+|            | $x$ | $y$ | $z$ | 1   | 2   | 3   | 4   | 5   | výsledek         |
+| ---------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---------------- |
+| 1, 2, 3, 4 | -   | 0   | -   | [o] | o   | o   | o   |     | $\overline{y}$   |
+| 4, 5       | 1   | -   | 0   |     |     | o   |     | [o] | $x \overline{z}$ |
+
+Každý prvek množiny $\{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ musí být obsažen alespoň v jedné množině vybraných podmnožin.
+- minimalizace počtu pokrývajících podmnožin
+- například jedna množina $\{ 1, 2, 3, 4 \}$ a druhá $\{ 5 \}$, využijeme tedy oba výsledky v tabulce