FAV-ZCU/KMA DMA/Příklady/06. Booleovské funkce.md

Nalezení UDNF a UKNF

Př.: f(x, y) = [\overline{(\overline{x} \wedge y)} \wedge \overline{x}] \vee y = [\overline{(\overline{x} \cdot y)} \cdot x] + y

1. Tabulkou

x	y	\overline{x} \wedge y	a = \overline{(\overline{x} \wedge y)}	b = a \wedge \overline{x}	b \vee y
0	0	0	1	1	1
0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	0	0
1	1	0	1	0	1

Postup

1. vybereme řádky, kde funkce vyšla 1 (ÚDNF) nebo 0 (ÚKNF)
2. zapisujeme jednotlivé klauzule podle prvků ($x, y, z, \dots$) v řádcích
   • prvek zapíšeme jako komplement, pokud je rovna 0 (ÚDNF) nebo 1 (ÚKNF)
   • když je výsledek funkce 1, čáru napíšeme nad prvkem s hodnotou 0

Výsledek

• ÚDNF: f_{D}(x, y) = (\overline{x} \wedge \overline{y}) \vee (\overline{x} \wedge y) \vee (x \wedge y)
• ÚKNF: f_{K}(x, y) = (\overline{x} \vee y)

2. Pomocí Booleovského kalkulusu

Využijeme pravidel Booleovského kalkulusu a pokusíme se funkci zjednodušit a roznásobit.

f(x, y) = [\overline{(\overline{x} \wedge y)} \wedge \overline{x}] \vee y = [(x \vee \overline{y}) \wedge \overline{x}] \vee y = [(x \wedge \overline{x}) \vee (\overline{y} \wedge \overline{x})] \vee y = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee y = (\overline{y} \vee y) \wedge (\overline{x} \vee y) = \overline{x} \vee y

• máme jedinou spojovou klauzuli, ve které je spojení, jedná se tedy o ÚKNF

Zkusíme získat i ÚDNF:

f(x, y) = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee y = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee (y \wedge 1) = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee [y \wedge (\overline{x} \vee x)] = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee (\overline{x} \wedge y) \vee (x \wedge y)

• máme spojení 3 průsekových klauzulí, jedná se tedy o ÚDNF

Quineho-McCluskeyho metoda

• minimální disjunktivní forma, součet co nejmenšího počtu součinů

Příklad

ÚDNF: \overline{x} \overline{y} \overline{z} + \overline{x} \overline{y} z + x \overline{y} \overline{z} + x \overline{y} z + x y \overline{z}

x	y	z	f(x,y,z)
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

Z tabulky vybereme koeficienty tam, kde vychází funkce 1:

1. 0 0 0
2. 0 0 1
3. 1 0 0
4. 1 0 1
5. 1 1 0

Z těchto vybraných kombinací vybereme všechny dvojice, které se liší o jednu pozici a tu nahradíme pomlčkou:

• 1, 2: 0 0 -
• 1, 3: - 0 0
• 2, 4: - 0 1
• 3, 4: 1 0 -
• 3, 5: 1 - 0

Pokračujeme stejným způsobem:

• 1, 2, 3, 4: - 0 - ($\overline{y}$)
• 1, 3, 2, 4: - 0 - (máme dvě stejné, jednu vyškrtneme)

• pro 3, 5 nezbyla žádná dvojice, přepíšeme tedy do klauzule x \overline{z}

Výsledek je f(x, y, z) = x \overline{z} + \overline{y} (součet prostých implikantů).

• vynechání některých součinů, takže výsledek je stále roven funkci f

Mějme Booleovy polynomy f, p. Součin literálů je implikantem funkce f, pokud p \leq f. Implikant je prostý, pokud součin vzniklý odstraněním libovolných literálů z p přestane být implikantem f.

Tabulka pokrytí

	x	y	z	1	2	3	4	5	výsledek
1, 2, 3, 4	-	0	-	[o]	o	o	o		\overline{y}
4, 5	1	-	0			o		[o]	x \overline{z}

Každý prvek množiny \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} musí být obsažen alespoň v jedné množině vybraných podmnožin.

• minimalizace počtu pokrývajících podmnožin
• například jedna množina \{ 1, 2, 3, 4 \} a druhá \{ 5 \}, využijeme tedy oba výsledky v tabulce