FAV-ZCU/KMA DMA/Příklady/06. Booleovské funkce.md

# Nalezení UDNF a UKNF

Př.: $f(x, y) = [\overline{(\overline{x} \wedge y)} \wedge \overline{x}] \vee y = [\overline{(\overline{x} \cdot y)} \cdot x] + y$

## 1. Tabulkou

| $x$ | $y$ | $\overline{x} \wedge y$ | $a = \overline{(\overline{x} \wedge y)}$ | $b = a \wedge \overline{x}$ | $b \vee y$ |
| --- | --- | ----------------------- | ---------------------------------------- | --------------------------- | ---------- |
| 0   | 0   | 0                       | 1                                        | 1                           | **1**      |
| 0   | 1   | 1                       | 0                                        | 0                           | **1**      |
| 1   | 0   | 0                       | 1                                        | 0                           | 0          | 
| 1   | 1   | 0                       | 1                                        | 0                           | **1**      |

Postup
1. vybereme řádky, kde funkce vyšla **1** (**ÚDNF**) nebo **0** (**ÚKNF**)
2. zapisujeme jednotlivé klauzule podle prvků ($x, y, z, \dots$) v řádcích
	- prvek zapíšeme jako komplement, pokud je rovna **0** (**ÚDNF**) nebo **1** (**ÚKNF**)
	- když je výsledek funkce **1**, čáru napíšeme nad prvkem s hodnotou **0**

Výsledek
- ÚDNF: $f_{D}(x, y) = (\overline{x} \wedge \overline{y}) \vee (\overline{x} \wedge y) \vee (x \wedge y)$ 
- ÚKNF: $f_{K}(x, y) = (\overline{x} \vee y)$

## 2. Pomocí Booleovského kalkulusu

Využijeme pravidel Booleovského kalkulusu a pokusíme se funkci zjednodušit a roznásobit.

$f(x, y) = [\overline{(\overline{x} \wedge y)} \wedge \overline{x}] \vee y = [(x \vee \overline{y}) \wedge \overline{x}] \vee y = [(x \wedge \overline{x}) \vee (\overline{y} \wedge \overline{x})] \vee y = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee y = (\overline{y} \vee y) \wedge (\overline{x} \vee y) = \overline{x} \vee y$
- máme jedinou spojovou klauzuli, ve které je spojení, jedná se tedy o ÚKNF

Zkusíme získat i ÚDNF:

$f(x, y) = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee y = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee (y \wedge 1) = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee [y \wedge (\overline{x} \vee x)] = (\overline{y} \wedge \overline{x}) \vee (\overline{x} \wedge y) \vee (x \wedge y)$
- máme spojení 3 průsekových klauzulí, jedná se tedy o ÚDNF

# Quineho-McCluskeyho metoda

- minimální disjunktivní forma, součet co nejmenšího počtu součinů

**Příklad**

ÚDNF: $\overline{x} \overline{y} \overline{z} + \overline{x} \overline{y} z + x \overline{y} \overline{z} + x \overline{y} z + x y \overline{z}$

| $x$ | $y$ | $z$ | $f(x,y,z)$ |
| --- | --- | --- | ---------- |
| 0   | 0   | 0   | 1          |
| 0   | 0   | 1   | 1          |
| 0   | 1   | 0   | 0          |
| 0   | 1   | 1   | 0          |
| 1   | 0   | 0   | 1          |
| 1   | 0   | 1   | 1          |
| 1   | 1   | 0   | 1          |
| 1   | 1   | 1   | 0          | 

Z tabulky vybereme koeficienty tam, kde vychází funkce $1$:
1. 0 0 0
2. 0 0 1
3. 1 0 0
4. 1 0 1
5. 1 1 0

Z těchto vybraných kombinací vybereme všechny dvojice, které se liší o jednu pozici a tu nahradíme pomlčkou:
- 1, 2: **0 0 -**
- 1, 3: **- 0 0**
- 2, 4: **- 0 1**
- 3, 4: **1 0 -**
- 3, 5: **1 - 0**

Pokračujeme stejným způsobem:
- 1, 2, 3, 4: **- 0 -** ($\overline{y}$)
- 1, 3, 2, 4: **- 0 -** (máme dvě stejné, jednu vyškrtneme)
+ pro 3, 5 nezbyla žádná dvojice, přepíšeme tedy do klauzule $x \overline{z}$

Výsledek je $f(x, y, z) = x \overline{z} + \overline{y}$ (součet prostých implikantů).
- vynechání některých součinů, takže výsledek je stále roven funkci $f$

Mějme Booleovy polynomy $f, p$. Součin literálů je implikantem funkce $f$, pokud $p \leq f$. Implikant je prostý, pokud součin vzniklý odstraněním libovolných literálů z $p$ přestane být implikantem $f$.

## Tabulka pokrytí

|            | $x$ | $y$ | $z$ | 1   | 2   | 3   | 4   | 5   | výsledek         |
| ---------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---------------- |
| 1, 2, 3, 4 | -   | 0   | -   | [o] | o   | o   | o   |     | $\overline{y}$   |
| 4, 5       | 1   | -   | 0   |     |     | o   |     | [o] | $x \overline{z}$ |

Každý prvek množiny $\{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ musí být obsažen alespoň v jedné množině vybraných podmnožin.
- minimalizace počtu pokrývajících podmnožin
- například jedna množina $\{ 1, 2, 3, 4 \}$ a druhá $\{ 5 \}$, využijeme tedy oba výsledky v tabulce