47 lines
2.1 KiB
Markdown
47 lines
2.1 KiB
Markdown
|
# Vlastní čísla, vlastní vektory, zobecněné vlastní vektory matice
|
||
|
|
## Vlastní čísla
|
||
|
|
- $A$ - matice A
|
||
|
|
- $\vec{u}$ - vlastní vektor matice A
|
||
|
|
- $\lambda$ - vlastní číslo matice A
|
||
|
|
|
||
|
|
$A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$
|
||
|
|
- $\vec{u} \in U \smallsetminus \{\vec{o}\}$ (u nulového vektoru by to platilo vždy)
|
||
|
|
- úpravou získáme $(\lambda I-A) \cdot \vec{u} = \vec{o}$
|
||
|
|
|
||
|
|
## Vlastní čísla
|
||
|
|
|
||
|
|
**Získání**:
|
||
|
|
1. Vypočítáme determinant matice
|
||
|
|
$\det{(\lambda I - A)}$ -> výsledkem je **charakteristický polynom**
|
||
|
|
2. V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např. $(\lambda-5)$
|
||
|
|
3. Získáme kořeny polynomu (vlastní čísla) a výsledek zapíšeme ve tvaru $(\lambda-5)(\lambda+2)^2$
|
||
|
|
- $(\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)$
|
||
|
|
|
||
|
|
Při změně báze se vlastní čísla ani vlastní vektory nemění. Vektory jsou sice stejné, ale v jiné bázi.
|
||
|
|
|
||
|
|
### Spektrum matice
|
||
|
|
|
||
|
|
- soubor všech vlastních čísel
|
||
|
|
- značí se $Sp(A)$
|
||
|
|
- např.: $Sp(A) = \{3^2; -1\}$
|
||
|
|
|
||
|
|
## vlastní vektory
|
||
|
|
- bázové prvky jádra lineárního zobrazení s maticí $A - \lambda I$ pro konkrétní vlastní číslo
|
||
|
|
|
||
|
|
**Získání**:
|
||
|
|
1. Dosadíme vlastní číslo za lambdu
|
||
|
|
2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
|
||
|
|
3. Pomocí $n-hod(\lambda I-A)$ zjistíme počet dosazovaných LN vektorů
|
||
|
|
4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
|
||
|
|
- běžně např. $(x, 1, 0)$ a $(x, 0, 1)$
|
||
|
|
5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic
|
||
|
|
např.: $h_{1} = [2, -1, 1]^T$
|
||
|
|
|
||
|
|
Vlastním vektorem $h_{1} = [2, -1, 1]$ se myslí $t\cdot [2, -1, 1], t\in R$
|
||
|
|
|
||
|
|
## zobecněné vlastní vektory matice
|
||
|
|
- Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod(\lambda I-A)$ vyjde menší), je možné $h_3$ dopočítat opakováním postupu pro $(\lambda I-A) = -h_{2}$, kde $-h2$ bude v pravém sloupci.
|
||
|
|
- nechť A je čtvercová matice řádu n
|
||
|
|
- nechť $\lambda$ je vlastní číslo matice $A$
|
||
|
|
- uspořádaná k-tice vektorů $\vec u_1, \vec u_2, ... , \vec u_k$ se nazývá řetězec zobecněných vlastních vektorů pokud:
|
||
|
|
- $(\lambda I - A)u_k = u_{k-1}$
|