FAV-ZCU/KMA LAA/Okruhy/16. Vlastní čísla, vlastní vektory, zobecněné vlastní vektory matice.md

Vlastní čísla, vlastní vektory, zobecněné vlastní vektory matice

Vlastní čísla

• A - matice A
• \vec{u} - vlastní vektor matice A
• \lambda - vlastní číslo matice A

A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}

• \vec{u} \in U \smallsetminus \{\vec{o}\} (u nulového vektoru by to platilo vždy)
• úpravou získáme (\lambda I-A) \cdot \vec{u} = \vec{o}

Vlastní čísla

Získání:

1. Vypočítáme determinant matice \det{(\lambda I - A)} -> výsledkem je charakteristický polynom
2. V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např. (\lambda-5)
3. Získáme kořeny polynomu (vlastní čísla) a výsledek zapíšeme ve tvaru (\lambda-5)(\lambda+2)^2
   • (\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)

Při změně báze se vlastní čísla ani vlastní vektory nemění. Vektory jsou sice stejné, ale v jiné bázi.

Spektrum matice

• soubor všech vlastních čísel
• značí se Sp(A)
  • např.: Sp(A) = \{3^2; -1\}

vlastní vektory

• bázové prvky jádra lineárního zobrazení s maticí A - \lambda I pro konkrétní vlastní číslo

Získání:

1. Dosadíme vlastní číslo za lambdu
2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
3. Pomocí n-hod(\lambda I-A) zjistíme počet dosazovaných LN vektorů
4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
   • běžně např. (x, 1, 0) a (x, 0, 1)
5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic např.: h_{1} = [2, -1, 1]^T

Vlastním vektorem h_{1} = [2, -1, 1] se myslí t\cdot [2, -1, 1], t\in R

zobecněné vlastní vektory matice

• Pokud nám chybí některé h_{i} (máme vícenásobné vl. číslo ale n-hod(\lambda I-A) vyjde menší), je možné h_3 dopočítat opakováním postupu pro (\lambda I-A) = -h_{2}, kde -h2 bude v pravém sloupci.
• nechť A je čtvercová matice řádu n
• nechť \lambda je vlastní číslo matice A
• uspořádaná k-tice vektorů \vec u_1, \vec u_2, ... , \vec u_k se nazývá řetězec zobecněných vlastních vektorů pokud:
  • (\lambda I - A)u_k = u_{k-1}