Přidány poznámky
This commit is contained in:
parent
a515b08c9d
commit
9624d402c6
|
|
@ -0,0 +1,47 @@
|
|||
# Vlastní čísla, vlastní vektory, zobecněné vlastní vektory matice
|
||||
## Vlastní čísla
|
||||
- $A$ - matice A
|
||||
- $\vec{u}$ - vlastní vektor matice A
|
||||
- $\lambda$ - vlastní číslo matice A
|
||||
|
||||
$A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$
|
||||
- $\vec{u} \in U \smallsetminus \{\vec{o}\}$ (u nulového vektoru by to platilo vždy)
|
||||
- úpravou získáme $(\lambda I-A) \cdot \vec{u} = \vec{o}$
|
||||
|
||||
## Vlastní čísla
|
||||
|
||||
**Získání**:
|
||||
1. Vypočítáme determinant matice
|
||||
$\det{(\lambda I - A)}$ -> výsledkem je **charakteristický polynom**
|
||||
2. V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např. $(\lambda-5)$
|
||||
3. Získáme kořeny polynomu (vlastní čísla) a výsledek zapíšeme ve tvaru $(\lambda-5)(\lambda+2)^2$
|
||||
- $(\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)$
|
||||
|
||||
Při změně báze se vlastní čísla ani vlastní vektory nemění. Vektory jsou sice stejné, ale v jiné bázi.
|
||||
|
||||
### Spektrum matice
|
||||
|
||||
- soubor všech vlastních čísel
|
||||
- značí se $Sp(A)$
|
||||
- např.: $Sp(A) = \{3^2; -1\}$
|
||||
|
||||
## vlastní vektory
|
||||
- bázové prvky jádra lineárního zobrazení s maticí $A - \lambda I$ pro konkrétní vlastní číslo
|
||||
|
||||
**Získání**:
|
||||
1. Dosadíme vlastní číslo za lambdu
|
||||
2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
|
||||
3. Pomocí $n-hod(\lambda I-A)$ zjistíme počet dosazovaných LN vektorů
|
||||
4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
|
||||
- běžně např. $(x, 1, 0)$ a $(x, 0, 1)$
|
||||
5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic
|
||||
např.: $h_{1} = [2, -1, 1]^T$
|
||||
|
||||
Vlastním vektorem $h_{1} = [2, -1, 1]$ se myslí $t\cdot [2, -1, 1], t\in R$
|
||||
|
||||
## zobecněné vlastní vektory matice
|
||||
- Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod(\lambda I-A)$ vyjde menší), je možné $h_3$ dopočítat opakováním postupu pro $(\lambda I-A) = -h_{2}$, kde $-h2$ bude v pravém sloupci.
|
||||
- nechť A je čtvercová matice řádu n
|
||||
- nechť $\lambda$ je vlastní číslo matice $A$
|
||||
- uspořádaná k-tice vektorů $\vec u_1, \vec u_2, ... , \vec u_k$ se nazývá řetězec zobecněných vlastních vektorů pokud:
|
||||
- $(\lambda I - A)u_k = u_{k-1}$
|
||||
8
KMA LAA/Okruhy/17. Změna báze a matice přechodu.md
Normal file
8
KMA LAA/Okruhy/17. Změna báze a matice přechodu.md
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,8 @@
|
|||
# Změna báze a matice přechodu
|
||||
## Matice přechodu
|
||||
- Matice identického lineárního zobrazení vzhledem k bázím $B_{1}$ a $B_{2}$.
|
||||
- Nechť $\mathbb T$ je matice přechodu od báze $B_{2}$ k bázi $B_{1}$
|
||||
- 1. T je regulární
|
||||
- 2. $T_{uC} = u_D \forall u \in U$
|
||||
- 3. $T^{-1}$ je matice přechodu od báze $B_{1}$ k bázi $B_{2}$$
|
||||
- Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice.
|
||||
|
|
@ -0,0 +1 @@
|
|||
# Změna matice lineárního operátoru při změně báze
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,34 @@
|
|||
# Podobnost matic, jejich vlastnosti, Jordanův kanonický tvar matice
|
||||
## Podobnost matic, jejich vlastnosti
|
||||
Matice $A$ a $B$ jsou podobné, jestli existuje matice $T$ taková, aby platilo $A = T^{-1}BT$.
|
||||
- pokud je A podobná B, je zároveň B podobná A, platí tedy i:
|
||||
- $TA = BT$
|
||||
- $TAT^{-1} = B$
|
||||
- každá matice je podobná sama sobě ($T$ by byla jednotková matice $I$)
|
||||
- matice $A$ řádu $n$ je podobná diagonální matici, právě když $A$ má lin. nezávislou množinu $n$ vlastních vektorů
|
||||
- Pokud jsou matice A a B podobné, mají **stejné charakteristické polynomy i spektra**.
|
||||
|
||||
### Diagonalizace
|
||||
|
||||
Matice NxN je diagonalizovatelná právě když
|
||||
- má N lineárně nezávislých vlastních vektorů
|
||||
- má různá vlastní čísla
|
||||
- je symetrická nebo jednotková
|
||||
|
||||
K diagonalizaci matice A stačí najít množinu n lineárně nezávislých vlastních vektorů, tedy **vlastní čísla mohou být i vícenásobná**. Pro k-násobné vl. číslo musí platit, že $dim(Ker(\mathbb{L})) = k$.
|
||||
|
||||
Na diagonále diagonální matice jsou vlastní čísla ve stejném pořadí, jako vlastní vektory v matici
|
||||
|
||||
### Nediagonalizovatelné matice
|
||||
|
||||
Taková matice je potom podobná tzv. blokově diagonální matici, nazývané Jordanův diagonální tvar. Skládá se z jednotlivých bloků, které se nazývají Jordanovy bloky.
|
||||
|
||||
Jordanův blok vypadá takto: $\begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0\\0 & \lambda & 1\\0 & 0 & \lambda\end{bmatrix}$
|
||||
- na diagonále má vlastní čísla, nad ní čísla 1
|
||||
- každý blok odpovídá nějakému vl. číslu
|
||||
|
||||
## Jordanův kanonický tvar matice
|
||||
- skládá se z Jordanových bloků
|
||||
- každý blok odpovídá nějakému vl. číslu
|
||||
- jednomu vlastnímu číslu může odpovídat jeden i více bloků
|
||||
- rozměry J. bloku mohou být i 1x1
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,44 @@
|
|||
# Skalární součin a jeho vlastnosti, norma indukovaná skalárním součinem
|
||||
## skalární součin a jeho vlastnosti
|
||||
Nechť $U$ je lineární vektorový prostor nad $\mathbb{R}$. Zobrazení $(\vec{x}, \vec{y}):U \times U \to \mathbb{R}$ splňující vlastnosti
|
||||
1. $(\vec{x}, \vec{x}) \geq 0$ pro každé $\vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0$, právě když $\vec{x} = \vec{o}$,
|
||||
2. $(\vec{x}, \vec{y}) = (\vec{y}, \vec{x}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$,
|
||||
3. $(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{R}$
|
||||
4. $(\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U$,
|
||||
|
||||
se nazývá **skalární součin**.
|
||||
|
||||
Skalární součin se vypočítá součinem prvků na stejných pozicí ve vektoru a jejich sečtením.
|
||||
- např. v $\mathbb{R}^3 : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}$
|
||||
|
||||
Lineární vektorový prostor se skalárním součinem se nazývá **Eukleidovský prostor**.
|
||||
|
||||
Příklad:
|
||||
1. $\mathbb{R}^3 : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}$
|
||||
2. $\displaystyle \mathbb{R}^n : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{1}y_{1} + \dots + x_{n}y_{n} = \sum^n_{i=1} x_{i}y_{i}$
|
||||
3. $\displaystyle C(0, 1) : (f, g) = \int^1_{0} f(x) \cdot g(x) \, dx$
|
||||
4. $\displaystyle \mathbb{P}_{n} : (p(x); q(x)) = \int^b_{a} p(x) \cdot q(x) \, dx$
|
||||
|
||||
V Eukleidovském prostoru platí (pro každé $k \in \mathbb{R}$ a $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U$):
|
||||
1. $(\vec{x}, k\vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y})$
|
||||
2. $(\vec{x}, \vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{y}) + (\vec{x}, \vec{z})$
|
||||
3. $(\vec{x}, \vec{o}) = (\vec{o}, \vec{x}) = 0$
|
||||
|
||||
**Cauchy-Schwarzova nerovnost** - Je-li $U$ Eukleidovský prostor, potom pro každé $\vec{x}, \vec{y} \in U$ platí
|
||||
- $(\vec{x}, \vec{y})^2 \leq (\vec{x}, \vec{x}) \cdot (\vec{y}, \vec{y})$.
|
||||
|
||||
## norma indukovaná skalárním součinem
|
||||
**Norma** v lineárním vektorovém prostoru $U$ je zobrazení $\Vert \vec{x} \Vert : U \to \mathbb{R}$ s vlastostmi
|
||||
1. $\Vert \vec{x} \Vert \geq 0 \, \forall \vec{x} \in U;\space \Vert \vec{x} \Vert = 0$, právě když $\vec{x} = \vec{o}$,
|
||||
2. $\Vert k\vec{x} \Vert = \vert k \vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert \ \forall\vec{x} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{R}$,
|
||||
3. $\Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert \leq \Vert \vec{x} \Vert + \Vert \vec{y} \Vert \ \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}$.
|
||||
|
||||
Je-li $U$ Eukleidovský prostor, potom $\Vert \vec{x} \Vert = \sqrt{ (\vec{x}, \vec{x}) }$ je norma. Nazývá se **norma indukovaná sklárním součinem**.
|
||||
|
||||
Pro dva prvky $x, y$ libovolného L.V.P. $U$ lze definovat úhel dvou prvků
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\displaystyle \phi = \arccos \frac{(\vec{x}, \vec{y})}{\Vert \vec{x} \Vert \cdot \Vert \vec{y} \Vert}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
a vzdálenost dvou prvků $d(\vec{x}, \vec{y}) = \Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert$. Vzdálenosti se obvykle říká **metrika** a příslušnému prostoru **metrický prostor**.
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,33 @@
|
|||
# Ortogonální a ortonormální báze prostoru, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces
|
||||
## Ortogonální a ortonormální báze prostoru
|
||||
### Ortogonální báze prostoru
|
||||
- Dva prvky $\vec{x}, \vec{y}$ Eukleidovského prostoru $U$ jsou **ortogonální** (kolmé), jestliže $(\vec{x}, \vec{y}) = 0$.
|
||||
- Píšeme $\vec{x} \perp \vec{y}$.
|
||||
- Množiny $X, Y, \subset U$ jsou ortiginální, jestliže $\vec{x} \perp \vec{y}$ pro každé $\vec{x} \in X$ a $\vec{y} \in Y$.
|
||||
|
||||
- Každá podmnožina Eukleidovského prostoru, jejíž prvky jsou nenulové a navzájem ortogonální, je LN.
|
||||
- Žádný ze vzájemně kolmých vektorů není možné vyjádřit jako LK ostatních.
|
||||
|
||||
### Ortonormální báze prostoru
|
||||
- prvky báze jsou ortogonální a zároveň normované, tedy vzájemně různé prvky báze jsou na sebe **kolmé** a všechny prvky báze jsou **jednotkové**
|
||||
|
||||
## Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces
|
||||
- určení ortogonální báze ze zadané báze
|
||||
|
||||
1. Mějme v $U$ bázi $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{n};$ hledáme ortogonální bázi $\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{n}$.
|
||||
2. Položíme $\vec{g}_{1} = \vec{b}_{1}$.
|
||||
3. Určíme $\displaystyle \vec{g}_{2} = \vec{b}_{2} - \frac{\vec{b}_{2}, \vec{g}_{1}}{(\vec{g}_{1}, \vec{g}_{1})} \vec{g}_{1}$, což je ortogonální (kolmý) průmět vektoru $\vec{b}_{2}$ do přímky dané vektorem $\vec{g}_{1}$. Platí, že $\vec{g}_{2} \perp \vec{g}_{1}$.
|
||||
4. Obecně hledáme $\vec{g}_{k}$ jako $\vec{b}_{k} - \overline{\vec{b}_{k}}$, kde $\overline{\vec{b}_{k}}$ je ortogonální průmět prvku $\vec{b}_{k}$ do podprostoru s ortogonální bází $\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k-1}$. Tedy:
|
||||
$$
|
||||
\displaystyle \vec{g}_{k} = \vec{b}_{k} - \biggl(
|
||||
\frac{(\vec{b}_{k}, \vec{g}_{1})}{(\vec{g}_{1}, \vec{g}_{1})} \vec{g}_{1}
|
||||
+
|
||||
\frac{(\vec{b}_{k}, \vec{g}_{2})}{(\vec{g}_{2}, \vec{g}_{2})} \vec{g}_{2}
|
||||
+
|
||||
\dots
|
||||
+
|
||||
\frac{(\vec{b}_{k}, \vec{g}_{k-1})}{(\vec{g}_{k-1}, \vec{g}_{k-1})} \vec{g}_{k-1}
|
||||
\biggr).
|
||||
$$
|
||||
|
||||
5. Pak jistě $\vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{1}, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{k-1}$.
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,8 @@
|
|||
# Ortogonální průmět vektoru do podprostoru, lineární metoda nejmenších čtverců
|
||||
## Ortogonální průmět vektoru do podprostoru
|
||||
- Mějme Eukleidovský prostor $U$, jeho podprostor $V$ a v něm generátor (ne nutně bázi) $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k}$. Máme určit ortogonální průmět $\overline{\vec{x}}$ prvku $\vec{x} \in U$ do $V$.
|
||||
- Víme, že $\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp \vec{b}_{i}$ pro každé $i = 1, 2, \dots, k$.
|
||||
- Dále: $\overline{\vec{x}} \in V$, tedy $\overline{\vec{x}} = a_{1}\vec{b}_{1} + a_{2}\vec{b}_{2} + \dots + a_{k}\vec{b}_{k}$ (je to LK generátorů).
|
||||
|
||||
## Lineární metoda nejmenších čtverců
|
||||
- Metodou nejmenších čtverců je možné aproximovat funkci - najít nějakou jednodušší, která je co nejpodobnější.
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,26 @@
|
|||
# Kvadratické formy a reálné symetrické matice, kriteria definitnosti matic
|
||||
## Kvadratická forma
|
||||
- matice **A** je reálná symetrická matice řádu $n$
|
||||
- kvadratická forma určená maticí **A** je zobrazení $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$
|
||||
- Nechť **A** je reálná symetrická matice. Potom
|
||||
1. všechna vlastní čísla matice **A** jsou reálná;
|
||||
- **DK**: Nechť $\lambda \in \mathbb{C}$ je vlastním číslem matice **A** s vl. vektorem $\vec{u}$. Tedy $A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$.
|
||||
- platí:
|
||||
$$\vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot (A \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot (\overline{A} \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot \overline{\lambda} \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})$$
|
||||
$$\vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot A^T \cdot \overline{\vec{u}} = (A \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = (\lambda \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})$$
|
||||
$$\implies \lambda = \overline{\lambda} \implies \lambda \in \mathbb{R} \qquad \vec{u} \neq \vec{o}$$
|
||||
1. ke každému vlastnímu číslu existuje **reálný vlastní vektor**;
|
||||
- **DK**: $A- \lambda I$ je reální singulární $\implies \exists$ nenulové reálné řešení
|
||||
2. vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům **jsou ortogonální**.
|
||||
- **DK**: Nechť $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ jsou různá vl. čísla s vl. vektory $\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}$.
|
||||
- platí:
|
||||
$$\vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})$$
|
||||
$$\vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot A^T \cdot \vec{u}_{2} = (A \cdot \vec{u}_{1})^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})$$
|
||||
$$\text{protože } \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \implies (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}) = 0 \implies \vec{u}_{1} \perp \vec{u}_{2}$$
|
||||
- Reálná symetrická matice **A** řádu $n$ má $n$ ortogonálních reálných vlastních vektorů.
|
||||
|
||||
## Definitnost kvadratické formy (Sylvesterovo kriterium)
|
||||
|
||||
- Nechť **A** je reálná symetrická matice řádu $n$ s hlavními minory $\Delta _{1}, \Delta _{2}, \dots, \Delta _{n} \neq 0$.
|
||||
- Kvadratická forma $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je **pozitivně definitní**, jestliže $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$.
|
||||
- Kvadratická forma $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je **negativně definitní**, jestliže $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$ sudé a $\Delta _{i} < 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$ liché.
|
||||
Loading…
Reference in a new issue