Podobnost matic, jejich vlastnosti, Jordanův kanonický tvar matice

Podobnost matic, jejich vlastnosti

Matice A a B jsou podobné, jestli existuje matice T taková, aby platilo A = T^{-1}BT.

pokud je A podobná B, je zároveň B podobná A, platí tedy i:
- TA = BT
- TAT^{-1} = B
každá matice je podobná sama sobě (T by byla jednotková matice $I$)
matice A řádu n je podobná diagonální matici, právě když A má lin. nezávislou množinu n vlastních vektorů
Pokud jsou matice A a B podobné, mají stejné charakteristické polynomy i spektra.
Matice A, B jsou podobné právě tehdy, když jsou maticemi téhož lineárního operátoru (v různých bázích)

Diagonalizace

Matice NxN je diagonalizovatelná právě když

má N lineárně nezávislých vlastních vektorů
má různá vlastní čísla
je symetrická nebo jednotková

K diagonalizaci matice A stačí najít množinu n lineárně nezávislých vlastních vektorů, tedy vlastní čísla mohou být i vícenásobná. Pro k-násobné vl. číslo musí platit, že dim(Ker(\mathbb{L})) = k.

Na diagonále diagonální matice jsou vlastní čísla ve stejném pořadí, jako vlastní vektory v matici

Nediagonalizovatelné matice

Taková matice je potom podobná tzv. blokově diagonální matici, nazývané Jordanův diagonální tvar. Skládá se z jednotlivých bloků, které se nazývají Jordanovy bloky.

Jordanův blok vypadá takto: \begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0\\0 & \lambda & 1\\0 & 0 & \lambda\end{bmatrix}

na diagonále má vlastní čísla, nad ní čísla 1
každý blok odpovídá nějakému vl. číslu

Jordanův kanonický tvar matice

skládá se z Jordanových bloků
každý blok odpovídá nějakému vl. číslu
jednomu vlastnímu číslu může odpovídat jeden i více bloků
rozměry J. bloku mohou být i 1x1

1.9 KiB Raw Permalink Blame History

Podobnost matic, jejich vlastnosti, Jordanův kanonický tvar matice