2.5 KiB
Determinant matice
Permutace
Vzájemně jednoznačné zobrazení konečné množiny na sebe.
$$
\pi_{1} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
5 & 3 & 2 & 1 & 4
\end{pmatrix} \qquad \pi_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
2 & 4 & 3 & 1 & 5
\end{pmatrix}
Můžeme je skládat (stejně jako funkce):
$$
\pi_{1} \circ \pi_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
5 & 3 & 4 & 2 & 1
\end{pmatrix} \qquad \pi_{2} \circ \pi_{1} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
1 & 3 & 2 & 5 & 4
\end{pmatrix}
Transpozice
Permutace \pi, pro kterou existují i, j takové, že \pi(i) = j, \pi(j) = i a \pi(k) = k pro všechna k \neq i, j.
- v transpozici dojde pouze k prohození dvou prvků
$$
J_{1} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
1 & 4 & 3 & 2 & 5
\end{pmatrix} \qquad J_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
2 & 1 & 3 & 4 & 5
\end{pmatrix}
Každá permutace se dá vyjádřit jako složení konečného počtu transpozic.
$$
\pi_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
2 & 4 & 3 & 1 & 5
\end{pmatrix} = J_{1} \circ J_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
1 & 4 & 3 & 2 & 5
\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
2 & 1 & 3 & 4 & 5
\end{pmatrix}
Znázornění jednotlivých transpozic (směrem dolů):
$$
\downarrow \quad \begin{matrix}
\text{začátek} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
J_{1} & 1 & \mathbf{4} & 3 & \mathbf{2} & 5\
J_{2} & \mathbf{2} & 4 & 3 & \mathbf{1} & 5
\end{matrix}
Permutace je sudá nebo lichá podle sudého nebo lichého počtu transpozic.
-
Znaménko permutace
\pije pak číslo$$ zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases}
-
Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace.
zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})
Determinant
Determinantem čtvercové matice A = [a_{ij}] řádu n nazveme číslo
\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}kde sčítáme přes všechny permutace na množině \{1, 2, \dots, n\}.
- determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným
- v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
det(A) = det(A^{T})
Algebraický doplněk matice
Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.
(-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]