FAV-ZCU/KMA LAA/Okruhy/20. Skalární součin a jeho vlastnosti, norma indukovaná skalárním součinem.md

Skalární součin a jeho vlastnosti, norma indukovaná skalárním součinem

skalární součin a jeho vlastnosti

Nechť U je lineární vektorový prostor nad \mathbb{R}. Zobrazení (\vec{x}, \vec{y}):U \times U \to \mathbb{R} splňující vlastnosti

1. (\vec{x}, \vec{x}) \geq 0 pro každé \vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0, právě když \vec{x} = \vec{o},
2. (\vec{x}, \vec{y}) = (\vec{y}, \vec{x}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U,
3. (k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U a \forall k \in \mathbb{R}
4. (\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U,

se nazývá skalární součin.

Skalární součin se vypočítá součinem prvků na stejných pozicí ve vektoru a jejich sečtením.

• např. v \mathbb{R}^3 : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}

Lineární vektorový prostor se skalárním součinem se nazývá Eukleidovský prostor.

Příklad:

1. \mathbb{R}^3 : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}
2. \displaystyle \mathbb{R}^n : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{1}y_{1} + \dots + x_{n}y_{n} = \sum^n_{i=1} x_{i}y_{i}
3. \displaystyle C(0, 1) : (f, g) = \int^1_{0} f(x) \cdot g(x) \, dx
4. \displaystyle \mathbb{P}_{n} : (p(x); q(x)) = \int^b_{a} p(x) \cdot q(x) \, dx

V Eukleidovském prostoru platí (pro každé k \in \mathbb{R} a $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U$):

1. (\vec{x}, k\vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y})
2. (\vec{x}, \vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{y}) + (\vec{x}, \vec{z})
3. (\vec{x}, \vec{o}) = (\vec{o}, \vec{x}) = 0

Cauchy-Schwarzova nerovnost - Je-li U Eukleidovský prostor, potom pro každé \vec{x}, \vec{y} \in U platí

• (\vec{x}, \vec{y})^2 \leq (\vec{x}, \vec{x}) \cdot (\vec{y}, \vec{y}).

norma indukovaná skalárním součinem

Norma v lineárním vektorovém prostoru U je zobrazení \Vert \vec{x} \Vert : U \to \mathbb{R} s vlastostmi

1. \Vert \vec{x} \Vert \geq 0 \, \forall \vec{x} \in U;\space \Vert \vec{x} \Vert = 0, právě když \vec{x} = \vec{o},
2. \Vert k\vec{x} \Vert = \vert k \vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert \ \forall\vec{x} \in U a \forall k \in \mathbb{R},
3. \Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert \leq \Vert \vec{x} \Vert + \Vert \vec{y} \Vert \ \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}.

Je-li U Eukleidovský prostor, potom \Vert \vec{x} \Vert = \sqrt{ (\vec{x}, \vec{x}) } je norma. Nazývá se norma indukovaná sklárním součinem.

Pro dva prvky x, y libovolného L.V.P. U lze definovat úhel dvou prvků

$$ \displaystyle \phi = \arccos \frac{(\vec{x}, \vec{y})}{\Vert \vec{x} \Vert \cdot \Vert \vec{y} \Vert}

a vzdálenost dvou prvků d(\vec{x}, \vec{y}) = \Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert. Vzdálenosti se obvykle říká metrika a příslušnému prostoru metrický prostor.