Ortogonální a ortonormální báze prostoru, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces

Ortogonální a ortonormální báze prostoru

Dva prvky \vec{x}, \vec{y} Eukleidovského prostoru U jsou ortogonální (kolmé), jestliže (\vec{x}, \vec{y}) = 0.
Píšeme \vec{x} \perp \vec{y}.
Množiny X, Y, \subset U jsou ortiginální, jestliže \vec{x} \perp \vec{y} pro každé \vec{x} \in X a \vec{y} \in Y.
Každá podmnožina Eukleidovského prostoru, jejíž prvky jsou nenulové a navzájem ortogonální, je LN.
Žádný ze vzájemně kolmých vektorů není možné vyjádřit jako LK ostatních.

prvky báze jsou ortogonální a zároveň normované, tedy vzájemně různé prvky báze jsou na sebe kolmé a všechny prvky báze jsou jednotkové

Mějme v U bázi \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{n}; hledáme ortogonální bázi \vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{n}.
Položíme \vec{g}_{1} = \vec{b}_{1}.
Určíme \displaystyle \vec{g}_{2} = \vec{b}_{2} - \frac{\vec{b}_{2}, \vec{g}_{1}}{(\vec{g}_{1}, \vec{g}_{1})} \vec{g}_{1}, což je ortogonální (kolmý) průmět vektoru \vec{b}_{2} do přímky dané vektorem \vec{g}_{1}. Platí, že \vec{g}_{2} \perp \vec{g}_{1}.
Obecně hledáme \vec{g}_{k} jako \vec{b}_{k} - \overline{\vec{b}_{k}}, kde \overline{\vec{b}_{k}} je ortogonální průmět prvku \vec{b}_{k} do podprostoru s ortogonální bází \vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k-1}. Tedy: $$ \displaystyle \vec{g}{k} = \vec{b}{k} - \biggl( \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{1})}{(\vec{g}{1}, \vec{g}{1})} \vec{g}{1} + \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{2})}{(\vec{g}{2}, \vec{g}{2})} \vec{g}{2} + \dots + \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{k-1})}{(\vec{g}{k-1}, \vec{g}{k-1})} \vec{g}_{k-1} \biggr).
Pak jistě \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{1}, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{k-1}.