FAV-ZCU/KMA LAA/Okruhy/23. Kvadratické formy a reálné symetrické matice, kriteria definitnosti matic.md

Kvadratické formy a reálné symetrické matice, kriteria definitnosti matic

Kvadratická forma

• matice A je reálná symetrická matice řádu n
• kvadratická forma určená maticí A je zobrazení \kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}
• Nechť A je reálná symetrická matice. Potom
  1. všechna vlastní čísla matice A jsou reálná;
     • DK: Nechť \lambda \in \mathbb{C} je vlastním číslem matice A s vl. vektorem \vec{u}. Tedy A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}.
     • platí:

         \vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot (A \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot (\overline{A} \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot \overline{\lambda} \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})

         \vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot A^T \cdot \overline{\vec{u}} = (A \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = (\lambda \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})

         \implies \lambda = \overline{\lambda} \implies \lambda \in \mathbb{R} \qquad \vec{u} \neq \vec{o}

  2. ke každému vlastnímu číslu existuje reálný vlastní vektor;
     • DK: A- \lambda I je reální singulární \implies \exists nenulové reálné řešení
  3. vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou ortogonální.
     • DK: Nechť \lambda_{1}, \lambda_{2} jsou různá vl. čísla s vl. vektory \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}.
     • platí:

         \vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})

         \vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot A^T \cdot \vec{u}_{2} = (A \cdot \vec{u}_{1})^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})

         \text{protože } \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \implies (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}) = 0 \implies \vec{u}_{1} \perp \vec{u}_{2}

• Reálná symetrická matice A řádu n má n ortogonálních reálných vlastních vektorů.

Definitnost kvadratické formy (Sylvesterovo kriterium)

• Nechť A je reálná symetrická matice řádu n s hlavními minory \Delta _{1}, \Delta _{2}, \dots, \Delta _{n} \neq 0.
• Kvadratická forma \kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x} je pozitivně definitní, jestliže \Delta _{i} > 0 pro každé i z \{1, 2, \dots, n\}.
• Kvadratická forma \kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x} je negativně definitní, jestliže \Delta _{i} > 0 pro každé i z \{1, 2, \dots, n\} sudé a \Delta _{i} < 0 pro každé i z \{1, 2, \dots, n\} liché.