1.4 KiB
1.4 KiB
Inercie kvadratické formy, zákon setrvačnosti kvadratických forem
Inercie kvadratické formy
- Nechť
\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}je kvadratická forma, A reálná symetrická matice. Označmek- počet kladných vlastních čísel matice A (vč. násobností);z- počet záporných vlastních čísel matice A;d- počet nulových vlastních čísel matice A.
- inercie kvadratické formy - Trojice čísel (
k,z, $d$) - značíme
in(\kappa) = (k, z, d)
Druhy inercií
Řekněme, že kvadratická forma \kappa(\vec{x}) na \mathbb{R}^n je
| typ | jestliže |
|---|---|
| pozitivně definitní | in(\kappa) = (k, 0, 0) |
| negativně definitní | in(\kappa) = (0, z, 0) |
| pozitivně semidefinitní | in(\kappa) = (k, 0, d), d > 0 |
| negativně semidefinitní | in(\kappa) = (0, z, d), d > 0 |
| indefinitní | in(\kappa) = (k, z, d), k > 0, z > 0 |
Zákon setrvačnosti kvadratických forem
- Je-li kvadratická forma na
\mathbb{R}^nvyjádřena dvěma způsoby jako lineární kombinace čtverců souřadnic vzhledem ke dvěma bázím, pak v obou vyjádřeních je stejný počet kladných, záporných i nulových koeficientů.2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2