1.8 KiB
1.8 KiB
Báze
Je-li generující množina prostoru V lineárně nezávislá, jedná se také o bázi prostoru V.
- zápis:
\text{báze }A = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\}
Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu do sloupců matice a provedu GJEM, čímž zjistím, jestli se nedá některý z vektorů vyjádřit jako LK jiného vektoru (tedy vyjde jako parametr).
Dimenze V
Počet prvků báze V se nazývá dimenze V a značí se dim(V).
Dimenzi vypočítám zjištěním báze, kde počet prvků báze je roven dimenzi V.
Souřadnice v bázi
Jednoznačně určené koeficienty c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R} LK v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}} se nazývají souřadnice prvku v v bází B.
- značí se
\widehat{v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T
Pořadí prvků v bázi je důležité! Při změně pořadí se změní i pořadí souřadnic:
B_{1} = \{ \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{1}} = [1, 2, 3]B_{2} = \{ \vec{b_{2}}, \vec{b_{1}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{2}} = [2, 1, 3]Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků.
\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}Určení souřadnic vektoru v bázi
- Bázové prvky zapíšeme do levé strany matice do sloupců.
- Vektor zapíšeme do pravé strany matice.
- Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice.
- Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi.
Lineární obal
- všechny lineární kombinace zadaných vektorů
\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}