120 lines
6.2 KiB
Markdown
120 lines
6.2 KiB
Markdown
# Nekonečné řady
|
||
|
||
Mějme dánu posloupnost $(a_{n})$ reálných čísel.
|
||
|
||
**Nekonečná řada** je symbol $\displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n},\quad$ kterým označujeme výraz $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$.
|
||
|
||
### Posloupnost částečných součtů
|
||
|
||
**Posloupnost částečných součtů** řady $\displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ je posloupnost $(s_n)$, kde
|
||
$$
|
||
\begin{matrix}
|
||
s_{1} = a_{1} \\
|
||
s_{2} = a_{1} + a_{2} \\
|
||
s_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \\
|
||
\vdots \\
|
||
s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}
|
||
\end{matrix}
|
||
$$
|
||
|
||
Čísla $a_{n}$ jsou **členy řady**, čísla $s_{n}$ jsou **částečné součty řady**. Pokud existuje limita $\lim_{ n \to \infty }{s_{n} = s \in \mathbb{R}^*}$, potom řada $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ má **součet** $s$ a tuto skutečnost zapisujeme jako $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} = s$.
|
||
|
||
### Konvergence a divergence
|
||
|
||
Mějme dánu řadu $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ a nechť $(s_{n})$ je její posloupnost částečných součtů. Řada $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ je
|
||
|
||
| značka | typ | podmínka |
|
||
| ------ | ------------------------- | --------------------------------- |
|
||
| **K** | konvergentní | $(s_n)$ konverguje |
|
||
| **D** | divergentní | $(s_{n})$ diverguje |
|
||
| | divergentní k $\pm\infty$ | $(s_{n})$ diverguje k $\pm\infty$ |
|
||
|
||
Pro **geometrickou řadu** $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} q^{n-1} = 1 + q + q^2 + q^3 + \dots\quad$ platí
|
||
|
||
$$
|
||
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \begin{cases}
|
||
& \displaystyle\frac{1-q^n}{1-q} & \text{pro } q \neq 1, \\
|
||
& n & \text{pro } q = 1,
|
||
\end{cases}
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} q^{n-1} \begin{cases}
|
||
& = \displaystyle\frac{1}{1-q} & \text{pro } \vert q\vert < 1, \\
|
||
& = +\infty & \text{pro } q \geq 1, \\
|
||
& \text{diverguje} & \text{pro } q \leq -1.
|
||
\end{cases}
|
||
$$
|
||
|
||
Je-li $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}, \quad\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}, \quad a,b \in \mathbb{R}^*, \quad c,d \in \mathbb{R}, \quad$ potom platí
|
||
|
||
$$
|
||
\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (c \cdot a_{n} + d \cdot b_{n}) = c \cdot a + d \cdot b
|
||
$$
|
||
|
||
pokud je výraz $(c \cdot a + d \cdot b)$ definován v $\mathbb{R}^*$ (tj. pokud není neurčitým výrazem).
|
||
|
||
### Nutná podmínka konvergence řady
|
||
|
||
Je-li řada $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ konvergentní, potom $\displaystyle\lim_{ n \to \infty }{a_{n}} = 0$.
|
||
|
||
**Poznámka**: Řada $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}\quad$ konverguje pro $\alpha > 1$ a diverguje pro $\alpha \leq 1$.
|
||
|
||
## Kritéria
|
||
|
||
#### Srovnávací kritérium
|
||
|
||
Mějme dvě řady $\sum a_{n}, \sum b_{n}$ takové, že $\forall \, n \in \mathbb{N} : 0 \leq a_{n} \leq b_{n}$.
|
||
1) Jestliže řada $\sum b_{n}$ konverguje, potom konverguje také řada $\sum a_{n}$.
|
||
2) Jestliže řada $\sum a_{n}$ diverguje, potom diverguje také řada $\sum b_{n}$.
|
||
|
||
#### Limitní srovnávací kritérium
|
||
|
||
Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **nezápornými** členy a řadu $\sum b_{n}$ s **kladnými** členy. Pokud existuje vlastní limita $\displaystyle\quad\lim_{ n \to \infty }{\frac{a_{n}}{b_{n}}} > 0,\quad$ potom platí:
|
||
1) Řada $\sum a_{n}$ konverguje právě tehdy, když řada $\sum b_{n}$ konverguje.
|
||
2) Řada $\sum a_{n}$ diverguje právě tehdy, když řada $\sum b_{n}$ diverguje.
|
||
|
||
#### d’Alembertovo kritérium
|
||
|
||
Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **kladnými** členy.
|
||
1) Jestliže existuje $q \in (0, 1)$ takové, že $\displaystyle\quad\forall \, n \in \mathbb{N} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq q \leq 1, \quad$ potom řada $\sum a_{n}$ konverguje.
|
||
2) Jestliže $\displaystyle\quad\forall \, n \in \mathbb{N} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \geq 1, \quad$ potom řada $\sum a_{n}$ diverguje.
|
||
|
||
#### Limitní d’Alembertovo kritérium
|
||
|
||
Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **kladnými** členy a nechť existuje limita $\displaystyle\lim_{ n \to \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}$.
|
||
1) Jestliže $\displaystyle\lim_{ n \to \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} < 1$, potom řada $\sum a_{n}$ konverguje.
|
||
2) Jestliže $\displaystyle\lim_{ n \to \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} > 1$, potom řada $\sum a_{n}$ diverguje.
|
||
|
||
#### Cauchyovo kritérium
|
||
|
||
Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **nezápornými** členy.
|
||
1) Jestliže existuje $q \in (0,1)$ takové, že $\forall \, n \in \mathbb{N} : \sqrt[n]{a_{n}} \leq q < 1$, potom řada $\sum a_{n}$ konverguje.
|
||
2) Jestliže $\forall \, n \in \mathbb{N} : \sqrt[n]{ a_{n} } \geq 1$, potom řada $\sum a_{n}$ diverguje.
|
||
|
||
#### Limitní Cauchyho kritérium
|
||
|
||
Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **nezápornými** členy a nechť existuje limita $\lim_{ n \to \infty }{\sqrt[n]{ a_{n} }}$.
|
||
1) Jestliže $\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ a_{n} } < 1$, potom řada $\sum a_{n}$ konverguje.
|
||
2) Jestliže $\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ a_{n} } > 1$, potom řada $\sum a_{n}$ diverguje.
|
||
|
||
## Absolutní a relativní konvergence
|
||
|
||
Jestliže řada $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \vert a_{n}\vert$ konverguje, potom konverguje také řada $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$.
|
||
|
||
Řekneme, že řada $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ je
|
||
|
||
| typ | podmínka |
|
||
| -------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ |
|
||
| **absolutně konvergentní** | řada $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \vert a_{n}\vert$ konverguje |
|
||
| **relativně konvergentní** | řada $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ konverguje, řada $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \vert a_{n}\vert$ diverguje |
|
||
|
||
## Alternující řada
|
||
|
||
Mějme dánu posloupnost $(a_{n})$ **kladných** čísel. Řada $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \cdot a_{n} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - \dots$ se nazývá **alternující řada**.
|
||
|
||
#### Leibnizovo kritérium
|
||
|
||
Nechť $\forall \, n \in \mathbb{N} : 0 < a_{n+1} \leq a_{n}$ a $\displaystyle\lim_{ n \to \infty } a_{n} = 0$.
|
||
|
||
Potom alternující řada $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \cdot a_{n}$ konverguje. |