FAV-ZCU/KMA M1/6. Derivace funkce.md

Derivace funkce

• rychlost růstu či klesání funkce
• pokud je derivace funkce v bodě x_0
  • < 0, je funkce v bodě klesající
  • > 0, je funkce v bodě rostoucí
  • = 0, je funkce v bodě konstatní

Základní vzorce

operace	vzorec
sčítání	(f+g)' = f' + g'
násobení konstantou	(c \cdot f)' = c \cdot f'
násobení	(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'
dělení	\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}
složená funkce	(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)

Derivační vzorce

funkce	derivace
x^a	ax^{a-1}
e^x	e^x
a^x	a^x \ln a
\ln x	\frac{1}{x}
\log_{a} x	\frac{1}{x \ln a}
\sin x	\cos x
\cos x	-\sin x
\text{tg } x	\frac{1}{\cos^2 x}
\text{cotg } x	-\frac{1}{\sin^2 x}
\arcsin x	\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}
\arccos x	-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}
\text{arctg } x	\frac{1}{1+x^2}
\text{arccotg } x	-\frac{1}{1+x^2}
\sinh x	\cosh x
\cosh x	\sinh x
\text{tgh } x	\frac{1}{\cosh^2 x}
\text{cotgh } x	\frac{1}{\sinh^2 x}

Tečna a normála

• zjištění tečny a normály v bodě funkce ($x_{0}$)
  1. najdeme tečný bod T[x_{0}, y_{0}]
     • y_{0} = f(x_{0})
  2. zderivujeme f(x) a dosadíme do derivace x_{0}
     • f'(x)
     • f'(x_{0})
  3. zjistíme tečnu
     • t: y-y_{0} = f'(x_{0}) \cdot (x-x_{0})
  4. zjistíme normálu
     • n: y-y_{0} = \frac{-1}{f'(x_{0})} \cdot (x-x_{0})

Extrémy funkce

1. • maximum
   • minimum
2. • lokální
   • globální
3. • ostré
   • neostré

Nutná podmínka existence extrému

f'(x_{0}) = 0, pokud jsou splněny obě podmínky:

• funkce f má v x_{0} lokální extrém
• existuje f'(x_{0})

Postačující podmínka existence extrému

• v x_0 se nachází lokální minimum, pokud
  • f'(x_0) = 0 a f''(x_{0}) > 0
• v x_{0} se nachází lokální maximum, pokud
  • f'(x_0) = 0 a f''(x_{0}) < 0

L'Hospitalovo pravidlo

• Pokud platí rovnosti f(x_0) = g(x_0) = 0 a existuje limita s derivacemi (druhá níže), pak platí vztah:
• \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}