FAV-ZCU/KMA M1/Okruhy/11. Derivace funkce.md

Derivace funkce

• jak moc funkce roste

Definice

• mějme f: D_f \rightarrow H_f a bod x_0 \in D_f
• řekněmě, že funkce f má v x_0 derivaci, $\exist$-li limita
• \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f'(x_0)

Věta 6.1: D => S

• má-li funkce f v bodě x_0 vlastní derivaci, potom je v tomto bodě spojitá

Věta 6.2: Pravidla derivování

• a) LINEARITA
  • (\alpha * f(x) + \beta * g(x))' = \alpha * f'(x) + \beta * g'(x)
• b) SOUČIN
  • (f(x)*g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
• c) PODÍL
  • (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)}{g^2(x)}
• d) SLOŽENÁ FUNKCE
  • (f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)

Věta 6.4: Derivace inverzní funkce

• (prakticky k ničemu, ale odvodí zbytek tabulky)
• pokud f'(x_0) \neq 0, f má spojitou derivaci a je ostře monotónní (tedy inverzní)
• y_0 = f(x_0), pak:
  • (f^{-1})(y_0) = \frac {1}{f'(x_0)} = \frac {1}{f'(f^{-1}(y_0))}

Aplikace derivací

• aproximace
• optimalizace
• průběh funkce
• výpočty limity