Formulujte následující tvrzení a věty

sčítání matic
- matice A, B - pouze matice stejného typu
- sčítá se po prvcích => c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
- C = A + B
- odečítání analogicky
násobení matic
- konstantou
  - máme matici A a koeficient k \in \mathbb{C}
  - každý prvek matice vynásobíme číslem k
  - c_{ij} = k * a_{ij}
- násobení dvou matic
  - C = A * B: A typu m/n, B typu n/p
  - počet sloupců první matice se musí rovnat počtu řádků druhé matice
  - skalární součin i-tého řádkového vektoru A a j-tého sloupcového vektoru $B$
  - násobení matic není komutativní!
  - výsledná matice typu m/p

Vietovy vzorce
- máme polynom proměnné x - p(x) a kořeny c_1, c_2, ..., c_n polynomu p(x)
  - a_{n-1} = -a_n(c_1, c_2, ..., c_n)
věta o rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů
- každý polynom lze vyjádřit jako:
  - p(x) = (x-c_1)(x-c_2)...(x-c_n)
- c_1, c_2, ..., c_n - kořeny polynomu p(x)

prvky v_1, v_2, ..., v_n jsou LZ pokud se alespoň jeden z nich dá vyjádřit jako LK ostatních
každá podmnožina LN pvrků je LN
každá nadmnožina LZ prvků je LZ
LZ množina může obsahovat LN množinu
množina s nulovým prvkem je LZ, {0} je LZ

věta o existenci báze
- v každém nenulovém konečně generovaném L. V. P. \ \exist alespoň jedna báze
- báze nulového (triviálního) L. V. P. je {0}
Steinitzova věta o výměně
- máme L. V. P. - V, M = \{g_1, g_2, ..., g_m\} ... generátory V, N = \{b_1, b_2, ..., b_n\} ... báze V
- dim (N) \leq dim (M)
- LZ prvky z M lze nahradit prvky z N => N znovu generuje V

máme:
- V - nenulový, konečně generovaný L. V. P.
- B = \{\vec b_1, \vec b_2, ..., \vec b_n\} uspořádaná báze V
- koeficienty c_1, c_2, ..., c_n \in R
- \vec v \in V
souřadnice prvku \vec v v bázi B je LK \vec v = c_1b_1 + c_2b_2 + ... + c_nb_n
značí se \widehat{\vec v_B} = [c_1, c_2, ..., c_n]^T
je nutné dávat si pozor na pořadí!
souřadnice součtu dvou prvků jsou součtem souřadnic těchto prvků
- \widehat {(\vec v_1 + \vec v_2)} = \widehat {(\vec v_1)} + \widehat {(\vec v_2)}
souřadnice \lambda - násobku jsou rovny \lambda - násobku souřadnic tohoto prvku
- \widehat {(\lambda * \vec v)} = \lambda * \widehat {(\vec v)}

máme: A - čtvercová matice řádu n, i \in \{1, 2, ..., n\}
rozvoj podle $i$-tého řádku - det(A) = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}
věta platí analogicky i podle sloupce ($det(A) = det(A^T)$)

elementární úpravy
- prohození dvou řádků matice
- vynásobení jednoho řádku matice (nenulovým číslem)
- přičtění k-násobku jednoho řádku k jinému
- pouze pro determinanty platí elementární úpravy i pro sloupce
prohození dvou řádků
- matice B vznikne prohozením dvou řádků A
- det(B) = -det(A)
- má-li matice A dva stejné řádky / sloupce => det(A) = 0
vynásobení číslem
- matice B vznikne vynásobením $i$-tého řádku číslem c
- det(B) = c * det(A)
- má-li A nulový řádek / sloupec => det(A) = 0

pivot - první nenulový prvek na řádku
matice je ve stupňovitém tvaru pokud:
- pro každý řádek platí:
  - je-li pivot na pozici j => ve všech dalších řádcích je pivot na pozici j' > j
- je-li i-tý řádek nulový => další řádky nulové

Nechť U, V ... lineární vektorové prostory a \mathbb{L}: U \rightarrow V ... lineární zobrazení
- Ker($\mathbb{L}$) ... podprostorem U
- Im($\mathbb{L}$) ... podprostorem V
dim($U$) = dim(ker($\mathbb{L}$)) + dim(Im($\mathbb{L}$))

Nechť U, V ... lineární vektorové prostory a \mathbb{L}: U \rightarrow V ... lineární zobrazení
izomorfní zobrazení: \mathbb{L}: U \rightarrow V
- je prosté a zároveň "na"
inverzní izomorfní zobrazení: \mathbb{L}^{-1}: U \rightarrow V je též izomorfní
\mathbb{L} je izoformizmus:
- <=> Ker($\mathbb{L}$) = {$0_U$} a zároveň Im($\mathbb{L}$) = V
- <=> dim($U$) = dim(V)
pokud je zobrazení izomorfní => x_1, x_2, ..., x_n \in U jsou LZ pokud \mathbb{L}(x_1), (x_2), ..., (x_n) \in V jsou LZ

nechť C, D jsou dvě báze prostoru U
T je matice přechodu od báze D k bázi C
- => 1. T je regulární
- => 2. T_{\vec u_C} = \vec u_D \forall \vec u \in U
- => 3. T^{-1} ... matice přechodu od báze C k bázi D