FAV-ZCU/KMA M1/5. Limita funkce a spojitost.md

Limita funkce a spojitost

Mějme dánu funkci f : D \to \mathbb{R} a bod x_0 \in \mathbb{R}^*, který je hromadným bodem D.

Řekneme, že funkce f má limitu b \in \mathbb{R}^* v bodě x_{0}, jestliže pro každou posloupnost (x_{0}) platí $$ \left( ( \space \forall , n \in \mathbb{N} : x_{n} \in D \quad \land \quad x_{n} \neq x_{0} \space ) \quad \land \quad \lim_{ n \to \infty }{x_{n}} = x_{0} \space \right) \quad \implies \quad \lim_{ n \to \infty }{f(x_{n})} = b

a píšeme \displaystyle\lim_{ x \to \infty }{f(x)} = b.

Algebra limit

Mějme dány funkce f a g, které mají stejný definiční obor D a mají v bodě x_{0} \in \mathbb{R}^* limitu

\lim_{ n \to x_{0} } f(x) = a \in \mathbb{R}^*, \lim_{ n \to x_{0} } g(x) = b \in \mathbb{R}^*.

Potom platí

• \displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) + g(x)) = a + b, \quad pokud je pravá strana definována,
• \displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b, \quad pokud je pravá strana definována,
• \displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}, \quad pokud \quad\forall \, x \in D : g(x) \neq 0\quad a pokud je pravá strana definována.

Spojitost funkce

• spojité funkce umíme načrtnout jedním tahem
• příklad
  • spojité procesy (růst člověka)
  • nespojité procesy (bankovní účet)

Funkce f je

typ spojitosti	podmínka
spojitá v x_0 \in D_f	pokud \displaystyle f(x_{0}) = \lim_{ x \to x_{0} } f(x)
spojitá zprava v x_0 \in D_f	pokud \displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}+)
spojitá zleva v x_0 \in D_f	pokud \displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}-)

Pokud x_{0} \in D je izolovaným bodem D, potom funkce f je spojitá v bodě x_{0}.

Body nespojitosti

Mějme dánu funkci f : D \to \mathbb{R} a bod x_{0} \in \mathbb{R}, pro který \exists \, \delta > 0 : P(x_{0}, \delta) \subset D.

Bod x_{0} je bod nespojitosti funkce f, pokud funkce f v bodě x_{0} není spojitá.

Druhy bodů nespojitosti:

• ON - odstranitelná nespojitost
  • podmínka: \displaystyle f(x_{0}) \neq \lim_{ x \to x_{0} } f(x) \in \mathbb{R}
  • limita zprava i zleva je stejná: f(x_{0}+) = f(x_{0}-)
  • funkční hodnota v x_0 se nerovná limitě v x_0, která je vlastní
• NN1D - neodstranitelné nespojitost 1. druhu
  • podmínka: f(x_{0}+), f(x_{0}-) \in \mathbb{R}, ale f(x_{0}+) \neq f(x_{0}-)
  • limita zprava i zleva je vlastní, ale nerovnají se
  • nazývá se také skoková nespojitost se skokem s = \dots
• NN2D - neodstranitelná nespojitost 2. druhu
  • podmínka: neexistuje vlastní limita f(x_{0}+) nebo f(x_{0}-)
  • alespoň jedna neexistuje nebo není alespoň jedna vlastní