57 lines
2.9 KiB
Markdown
57 lines
2.9 KiB
Markdown
# Limita funkce a spojitost
|
|
|
|
Mějme dánu funkci $f : D \to \mathbb{R}$ a bod $x_0 \in \mathbb{R}^*$, který je hromadným bodem $D$.
|
|
|
|
Řekneme, že funkce $f$ má **limitu** $b \in \mathbb{R}^*$ v bodě $x_{0}$, jestliže pro **každou** posloupnost $(x_{0})$ platí
|
|
$$
|
|
\left( ( \space \forall \, n \in \mathbb{N} : x_{n} \in D \quad \land \quad x_{n} \neq x_{0} \space ) \quad \land \quad \lim_{ n \to \infty }{x_{n}} = x_{0} \space \right) \quad \implies \quad \lim_{ n \to \infty }{f(x_{n})} = b
|
|
$$
|
|
|
|
a píšeme $\displaystyle\lim_{ x \to \infty }{f(x)} = b$.
|
|
|
|
### Algebra limit
|
|
|
|
Mějme dány funkce $f$ a $g$, které mají stejný definiční obor $D$ a mají v bodě $x_{0} \in \mathbb{R}^*$ limitu
|
|
|
|
$$\lim_{ n \to x_{0} } f(x) = a \in \mathbb{R}^*, \lim_{ n \to x_{0} } g(x) = b \in \mathbb{R}^*.$$
|
|
|
|
Potom platí
|
|
- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) + g(x)) = a + b, \quad$ pokud je pravá strana definována,
|
|
- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b, \quad$ pokud je pravá strana definována,
|
|
- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}, \quad$ pokud $\quad\forall \, x \in D : g(x) \neq 0\quad$ a pokud je pravá strana definována.
|
|
|
|
## Spojitost funkce
|
|
|
|
- spojité funkce umíme načrtnout jedním tahem
|
|
- příklad
|
|
- spojité procesy (růst člověka)
|
|
- nespojité procesy (bankovní účet)
|
|
|
|
Funkce $f$ je
|
|
|
|
| typ spojitosti | podmínka |
|
|
| ------------------------------ | ---------------------------------------------------------- |
|
|
| spojitá v $x_0 \in D_f$ | pokud $\displaystyle f(x_{0}) = \lim_{ x \to x_{0} } f(x)$ |
|
|
| spojitá zprava v $x_0 \in D_f$ | pokud $\displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}+)$ |
|
|
| spojitá zleva v $x_0 \in D_f$ | pokud $\displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}-)$ |
|
|
|
|
Pokud $x_{0} \in D$ je izolovaným bodem $D$, potom funkce $f$ je spojitá v bodě $x_{0}$.
|
|
|
|
### Body nespojitosti
|
|
|
|
Mějme dánu funkci $f : D \to \mathbb{R}$ a bod $x_{0} \in \mathbb{R}$, pro který $\exists \, \delta > 0 : P(x_{0}, \delta) \subset D$.
|
|
|
|
Bod $x_{0}$ je **bod nespojitosti** funkce $f$, pokud funkce $f$ v bodě $x_{0}$ není spojitá.
|
|
|
|
**Druhy bodů nespojitosti**:
|
|
- **ON** - odstranitelná nespojitost
|
|
- **podmínka**: $\displaystyle f(x_{0}) \neq \lim_{ x \to x_{0} } f(x) \in \mathbb{R}$
|
|
- limita zprava i zleva je stejná: $f(x_{0}+) = f(x_{0}-)$
|
|
- funkční hodnota v $x_0$ se nerovná limitě v $x_0$, která je vlastní
|
|
- **NN1D** - neodstranitelné nespojitost 1. druhu
|
|
- **podmínka**: $f(x_{0}+), f(x_{0}-) \in \mathbb{R}$, ale $f(x_{0}+) \neq f(x_{0}-)$
|
|
- limita zprava i zleva je vlastní, ale nerovnají se
|
|
- nazývá se také **skoková nespojitost** se skokem $s = \dots$
|
|
- **NN2D** - neodstranitelná nespojitost 2. druhu
|
|
- **podmínka**: neexistuje vlastní limita $f(x_{0}+)$ nebo $f(x_{0}-)$
|
|
- alespoň jedna neexistuje nebo není alespoň jedna vlastní |