FAV-ZCU/KIV PPA2/Prednaska11.md

Grafy 2

Prohledávání do šířky (BFS)

Strom dosažitelnosti

• tvoří se z nějakého určeného vrcholu (kořen)
• ukazuje, jaká je nejkratší cesta do ostatních vrcholů
• reprezentován polem, kde na indexu vrcholu je uložen předek
• nemusí být jednoznačný (může existovat více nejkratších cest)

Prohledávánı́ do hloubky (DFS)

• Depth-First Search
• algoritmus postupuje do většı́ vzdálenosti od počátečnı́ho vrcholu, pokud může

• předpokládáme, že označenı́ (mark) je před volánı́m DFS inicializováno na 0 pro všechny vrcholy
• DFS je potřeba doplnit o nějaký užitečný kód
  • záleží to na řešeném problému

Značenı́ vrcholů

• nezpracovaný (”bı́lá”), kód 0
• rozpracovaný (”šedá”), kód 1
• dokončený (”černá”), kód 2

Složitost

• rekurzivní metoda se pro každý vrchol volá pouze jednou - \Omega(\vert V\vert)
• pro každý vrchol se prochází seznam hran:
  • reprezentace maticí - \Omega(\vert V\vert^2)
  • reprezentace seznamem - \mathcal{O}(\vert E\vert)
• celkem: \mathcal{O}(\vert V\vert + \vert E\vert) při reprezentaci seznamem
  • může být i \Omega(\vert V\vert^2), pokud \vert E\vert = k\vert V\vert^2

Použití DFS

• Zjištění dosažitelnosti vrcholu
  • pokud předpokládáme, že bude vrchol daleko, je DFS vhodnější než BFS

• Zjištění cyklu v grafu
  • vrchol označíme jedničkou a poté ho znovu hledáme
• Topologické řazení
  • prvně je potřeba ověřit, že graf nemá cykly
  • vrcholy jsou činnosti, hrany jsou závislosti
  • hrana A \to B značí, že se prvně musí vykonat A a potom až B
  • pomocí DFS můžeme snadno určit pořadí činností (pomocí otočeného grafu)

DFS bez rekurze

• pravděpodobně nastanou problémy s hloubkou zásobníku

• vystačíme si se zásobníkem celých čísel (vrcholů)
• segment (jaký je stav vrcholu) je v označení vrcholu (mark)

Nejkratší cesta v ohodnoceném grafu

• velmi častý problém
• ohodnocení: čas, vzdálenost, ...
• úkol: nalézt nejkratší vzdálenost ke všem vrcholům
• Dijkstrův algoritmus
  • je potřeba prioritní fronta
    • přidání dvojice vrchol + ohodnocení
    • vybrání/odebrání vrcholu s nejmenším ohodnocením
    • změna ohodnocení vrcholu