FAV-ZCU/KMA DMA/Prednaska06.md

Struktura B. algeber

• X = \{a, ,b, c\}, (2^x, \leq)
• každá podmnožina X reprezentuje char. vektory

Věta (Sperner)

• \displaystyle width(2^x) = {|x| \choose \lfloor\frac{|x|}{2}\rfloor}
• Pascalův tojúhelník

Direktní součin B. algebry

• B_{1} = (B_{1}, \leq_{1}), B_{2} = (B_{2}, \leq_{2})
• direktní součin B. algeber B_{1} \times B_{2} se rovná algebra
  • B = B_{1} \times B_{2} = (B_{1} \times b_{2}, \leq)
  • (a_{1}, a_{2}) \leq (b_{1}, b_{2}) \iff a_{1} \leq_{1} b_{1} \wedge a_{2} \leq_{2} b_{2}
• Př.: B_{1} \quad B_{2}
  • B_{1} = \{0_{1}, 1_{1}\} \quad B_{2} = \{0_{2}, 1_{2}\}
  • B_{1} \times B_{2} = \{(0_{1}, 0_{2}), (0_{1}, 1_{2}), (1_{1}, 0_{2}), (1_{1}, 1_{2})\}
• Důsl.: Každá B. algebra B je izomorfní B_{2}^n, kde n = # atomů B
  • B_{2}^2 = B_{2} \times B_{2}, B_{2}^3 = B_{2} \times B_{2} \times B_{2}
  • B_{2}^4 - hyperkrychle (4-rozměrná)

Booleovské funkce

• f: B_{2}^n \to B_{2}^m \quad omezíme se na m = 1
• speciální případ je výroková logika
• binární logické spojky, pravdivostní tabulka

p	q	p \wedge q	p \vee q	p \implies q	p \iff q	p + q
0	0	0	0	1	1	0
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	0	1
1	1	1	1	1	1	0

• kolik existuje B. fcí n proměnných?
  • x_{1}, x_{2} \dots x_{n} \qquad f(x_{1}, \dots, x_{n})
  • # vstupů je 2^n ... 2^{2^n}
  • jaká je struktura B. fcí?
  • množina všech B. fcí n proměnných ... Fn
  • na Fn lze zavést uspořádání
    • F, g \in Fn, definujeme f \leq g \iff \forall \, x \in B_{2}^n \quad f(x) \leq g(x)
    • porovnání v B_{2}
    • pokud f \leq g, pak řekneme, že f implikuje g
• Př.:
  • f \leq g
  • f \Vert h jsou neporonatelné

x	y	f(x, y)	g(x, y)	h(x, y)
0	0	1	1	0
0	1	0	1	1
1	0	0	0	0
1	1	1	1	0

• Množina Fn tvoří B. algebru
  • (f \wedge g)(x) = f(x) \wedge g(x)
  • (f \vee g)(x) = f(x) \vee g(x)
  • \overline f(x) = \overline{f(x)}

Booleovy polynomy

• \wedge, \vee, \overline{}
• Def.: B. polynom v proměnných x_{1}, \dots, x_{n}
  1. 0, 1, x_{1}, \dots, x_{n} tvoří B. polynom
  2. jsou-li p, q B. polynomy, pak
     • p \wedge q, p \vee q, \overline p
     • jsou B. p.
• B. p. v proměnných x_{1}, \dots, x_{n} se rozumí každý výraz vytvořený konečným počtem aplikací těchto pravidel
• Př.: x_{1}, x_{2}, x_{3} : x_{1} \quad \overline{x_{3}} \wedge x_{1}
  • x_{2} \vee x_{3}
• Def.: literál proměnné x_{i} je B. p. rovný x_{i} nebo \overline{x_{i}}
  • součinová (průseková) klauzule v proměnných x_{1}, \dots, x_{n} \qquad \overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{7}
    • součin (průsek) některých literálů proměnných x_{1}, \dots, x_{n}
  • součtová (spojová) klauzule
    • součet (spojení) \qquad x_{1} \vee \overline{x_{3}} \vee x_{5}
  • úplná součinová klauzule součinová klauzule obsahující literály všech proměnných
    • \overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{3}
    • x_{1} \wedge x_{2} \wedge \overline{x_{3}}
  • úplná součtová klauzule součtová klauzule obsahující literály všech proměnných
    • x_{1} \vee \overline{x_{2}} \vee x_{3}
  • \wedge \to \cdot \qquad \overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{7} = \overline{x_{1}} x_{2} x_{3}
  • \wedge \to + \qquad x_{1} \wedge \overline{x_{3}} \wedge x_{5} = x_{1} + \overline{x_{3}} + x_{5}
  • součtová (disjunktivní) forma
    • pokud B. f. vyjádřená jako součet součinových klauzulí
  • úplná součtová (disjunktivní) forma
    • součet nějakých úplných součtových klauzulí
  • součinová (konjuktivní) forma
    • pokud B. f. vyjádřená jako součin součtových klauzulí
  • úplná součinová (konjuktivní) forma
    • součet nějakých úplných součinových klauzulí
• Př.: f(x_{1}, x_{2}, x_{3})
  • x_{1} \cdot x_{2} + x_{3} \quad součtová (disj.) forma
  • x_{1} \cdot \overline{x_{2}} \cdot x_{3} + \overline{x_{1}} \cdot x_{2} \cdot \overline{x_{3}} \quad úplná součtová (disj.) forma
  • (\overline{x_{1}} + x_{2}) \cdot x_{3} \quad součinová (konj.) forma
  • (\overline{x_{1}} + \overline{x_{2}} + \overline{x_{3}}) \cdot (x_{1} + \overline{x_{2}} + x_{3}) \quad úplná součinová (konj.) forma

Věta: Každá B. fce se dá vyjádřit pomocí B. polynomu

• Každá nekonstantní B. fce se dá vyjádřit pomocí ÚDNF nebo ÚKNF.
• Př.:
  • ÚDNF: \quad f(x, y, z) = \overline x y \overline z + \overline x y z + x y \overline z
  • ÚKNF: \quad f(x, y, z) = (x+y+z)(x+y+\overline z)(\overline x+y+z)(\overline x+y+\overline z)(\overline x+\overline y+\overline z)

x	y	z	f(x, y, z)	ÚKD	ÚDK
0	0	0	0		x + y + z
0	0	1	0		x + y + \overline z
0	1	0	1	\overline x \cdot y \cdot \overline z
0	1	1	1	\overline x \cdot y \cdot z
1	0	0	0		\overline x + y + z
1	0	1	0		\overline x + y + \overline z
1	1	0	1	x \cdot y \cdot \overline z
1	1	1	0		\overline x + \overline y + \overline z

Minimalizace B. fcí

• minimální disjunktivní forma
• součet co nejmenšího počtu součinů

Quineho-McCluskeyho metoda

• Př.:
  • ÚDNF: \quad \overline x \overline y \overline z + \overline x \overline y z + x \overline y \overline z + x \overline y z + x y \overline z
    • první dvojice: \quad \overline x \overline y (\overline z + z) = \overline x \overline y
    • druhá dvojice: \quad (\overline x + x) \overline y \overline z = \overline y \overline z

x	y	z	f(x, y, z)
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

• f(x, y, z) = x \overline z + \overline y
• ? vynechání některých součinů tak, že výsledek je stále roven funkci f
• f, p součin literálů je implikantem fce f, pokud p \leq f
• implikant je prostý, pokud součin vzniklý odstraněním libovolného literálu z p přestane být implikantem f