136 lines
7.3 KiB
Markdown
136 lines
7.3 KiB
Markdown
Struktura B. algeber
|
|
- $X = \{a, ,b, c\}, (2^x, \leq)$
|
|
- každá podmnožina X reprezentuje char. vektory
|
|
|
|
Věta (Sperner)
|
|
- $\displaystyle width(2^x) = {|x| \choose \lfloor\frac{|x|}{2}\rfloor}$
|
|
- Pascalův tojúhelník
|
|
|
|
Direktní součin B. algebry
|
|
- $B_{1} = (B_{1}, \leq_{1}), B_{2} = (B_{2}, \leq_{2})$
|
|
- direktní součin B. algeber $B_{1} \times B_{2}$ se rovná algebra
|
|
- $B = B_{1} \times B_{2} = (B_{1} \times b_{2}, \leq)$
|
|
- $(a_{1}, a_{2}) \leq (b_{1}, b_{2}) \iff a_{1} \leq_{1} b_{1} \wedge a_{2} \leq_{2} b_{2}$
|
|
- Př.: $B_{1} \quad B_{2}$
|
|
- $B_{1} = \{0_{1}, 1_{1}\} \quad B_{2} = \{0_{2}, 1_{2}\}$
|
|
- $B_{1} \times B_{2} = \{(0_{1}, 0_{2}), (0_{1}, 1_{2}), (1_{1}, 0_{2}), (1_{1}, 1_{2})\}$
|
|
- Důsl.: Každá B. algebra B je izomorfní $B_{2}^n$, kde n = # atomů B
|
|
- $B_{2}^2 = B_{2} \times B_{2}, B_{2}^3 = B_{2} \times B_{2} \times B_{2}$
|
|
- $B_{2}^4$ - hyperkrychle (4-rozměrná)
|
|
|
|
Booleovské funkce
|
|
- $f: B_{2}^n \to B_{2}^m \quad$ omezíme se na $m = 1$
|
|
- speciální případ je výroková logika
|
|
- binární logické spojky, pravdivostní tabulka
|
|
|
|
| $p$ | $q$ | $p \wedge q$ | $p \vee q$ | $p \implies q$ | $p \iff q$ | $p + q$ |
|
|
| --- | --- | ------------ | ---------- | -------------- | ---------- | ------- |
|
|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|
|
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
|
|
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
|
|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
|
|
|
|
- kolik existuje B. fcí n proměnných?
|
|
- $x_{1}, x_{2} \dots x_{n} \qquad f(x_{1}, \dots, x_{n})$
|
|
- \# vstupů je $2^n$ ... $2^{2^n}$
|
|
- jaká je struktura B. fcí?
|
|
- množina všech B. fcí n proměnných ... Fn
|
|
- na Fn lze zavést uspořádání
|
|
- $F, g \in Fn$, definujeme $f \leq g \iff \forall \, x \in B_{2}^n \quad f(x) \leq g(x)$
|
|
- porovnání v $B_{2}$
|
|
- pokud $f \leq g$, pak řekneme, že f implikuje g
|
|
- Př.:
|
|
- $f \leq g$
|
|
- $f \Vert h$ jsou neporonatelné
|
|
|
|
| x | y | f(x, y) | g(x, y) | h(x, y) |
|
|
| --- | --- | ------- | ------- | ------- |
|
|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|
|
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
|
|
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
|
|
|
|
|
|
- Množina Fn tvoří B. algebru
|
|
- $(f \wedge g)(x) = f(x) \wedge g(x)$
|
|
- $(f \vee g)(x) = f(x) \vee g(x)$
|
|
- $\overline f(x) = \overline{f(x)}$
|
|
|
|
Booleovy polynomy
|
|
- $\wedge, \vee, \overline{}$
|
|
- Def.: B. polynom v proměnných $x_{1}, \dots, x_{n}$
|
|
1. $0, 1, x_{1}, \dots, x_{n}$ tvoří B. polynom
|
|
2. jsou-li p, q B. polynomy, pak
|
|
- $p \wedge q, p \vee q, \overline p$
|
|
- jsou B. p.
|
|
- B. p. v proměnných $x_{1}, \dots, x_{n}$ se rozumí každý výraz vytvořený konečným počtem aplikací těchto pravidel
|
|
- Př.: $x_{1}, x_{2}, x_{3} : x_{1} \quad \overline{x_{3}} \wedge x_{1}$
|
|
- $x_{2} \vee x_{3}$
|
|
- Def.: literál proměnné $x_{i}$ je B. p. rovný $x_{i}$ nebo $\overline{x_{i}}$
|
|
- **součinová (průseková) klauzule** v proměnných $x_{1}, \dots, x_{n} \qquad \overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{7}$
|
|
- součin (průsek) některých literálů proměnných $x_{1}, \dots, x_{n}$
|
|
- **součtová (spojová) klauzule**
|
|
- součet (spojení) $\qquad x_{1} \vee \overline{x_{3}} \vee x_{5}$
|
|
- **úplná součinová klauzule** součinová klauzule obsahující literály všech proměnných
|
|
- $\overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{3}$
|
|
- $x_{1} \wedge x_{2} \wedge \overline{x_{3}}$
|
|
- **úplná součtová klauzule** součtová klauzule obsahující literály všech proměnných
|
|
- $x_{1} \vee \overline{x_{2}} \vee x_{3}$
|
|
- $\wedge \to \cdot \qquad \overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{7} = \overline{x_{1}} x_{2} x_{3}$
|
|
- $\wedge \to + \qquad x_{1} \wedge \overline{x_{3}} \wedge x_{5} = x_{1} + \overline{x_{3}} + x_{5}$
|
|
- **součtová (disjunktivní) forma**
|
|
- pokud B. f. vyjádřená jako součet součinových klauzulí
|
|
- **úplná součtová (disjunktivní) forma**
|
|
- součet nějakých úplných součtových klauzulí
|
|
- **součinová (konjuktivní) forma**
|
|
- pokud B. f. vyjádřená jako součin součtových klauzulí
|
|
- **úplná součinová (konjuktivní) forma**
|
|
- součet nějakých úplných součinových klauzulí
|
|
- Př.: $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$
|
|
- $x_{1} \cdot x_{2} + x_{3} \quad$ součtová (disj.) forma
|
|
- $x_{1} \cdot \overline{x_{2}} \cdot x_{3} + \overline{x_{1}} \cdot x_{2} \cdot \overline{x_{3}} \quad$ úplná součtová (disj.) forma
|
|
- $(\overline{x_{1}} + x_{2}) \cdot x_{3} \quad$ součinová (konj.) forma
|
|
- $(\overline{x_{1}} + \overline{x_{2}} + \overline{x_{3}}) \cdot (x_{1} + \overline{x_{2}} + x_{3}) \quad$ úplná součinová (konj.) forma
|
|
|
|
Věta: Každá B. fce se dá vyjádřit pomocí B. polynomu
|
|
- Každá nekonstantní B. fce se dá vyjádřit pomocí ÚDNF nebo ÚKNF.
|
|
- Př.:
|
|
- ÚDNF: $\quad f(x, y, z) = \overline x y \overline z + \overline x y z + x y \overline z$
|
|
- ÚKNF: $\quad f(x, y, z) = (x+y+z)(x+y+\overline z)(\overline x+y+z)(\overline x+y+\overline z)(\overline x+\overline y+\overline z)$
|
|
|
|
| x | y | z | f(x, y, z) | ÚKD | ÚDK |
|
|
| --- | --- | --- | ---------- | --------------------------------------- | ----------------------------------------- |
|
|
| 0 | 0 | 0 | 0 | | $x + y + z$ |
|
|
| 0 | 0 | 1 | 0 | | $x + y + \overline z$ |
|
|
| 0 | 1 | 0 | 1 | $\overline x \cdot y \cdot \overline z$ | |
|
|
| 0 | 1 | 1 | 1 | $\overline x \cdot y \cdot z$ | |
|
|
| 1 | 0 | 0 | 0 | | $\overline x + y + z$ |
|
|
| 1 | 0 | 1 | 0 | | $\overline x + y + \overline z$ |
|
|
| 1 | 1 | 0 | 1 | $x \cdot y \cdot \overline z$ | |
|
|
| 1 | 1 | 1 | 0 | | $\overline x + \overline y + \overline z$ |
|
|
|
|
Minimalizace B. fcí
|
|
- minimální disjunktivní forma
|
|
- součet co nejmenšího počtu součinů
|
|
|
|
Quineho-McCluskeyho metoda
|
|
- Př.:
|
|
- ÚDNF: $\quad \overline x \overline y \overline z + \overline x \overline y z + x \overline y \overline z + x \overline y z + x y \overline z$
|
|
- první dvojice: $\quad \overline x \overline y (\overline z + z) = \overline x \overline y$
|
|
- druhá dvojice: $\quad (\overline x + x) \overline y \overline z = \overline y \overline z$
|
|
|
|
| x | y | z | f(x, y, z) |
|
|
| --- | --- | --- | ---------- |
|
|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
|
|
| 0 | 0 | 1 | 1 |
|
|
| 0 | 1 | 0 | 0 |
|
|
| 0 | 1 | 1 | 0 |
|
|
| 1 | 0 | 0 | 1 |
|
|
| 1 | 0 | 1 | 1 |
|
|
| 1 | 1 | 0 | 1 |
|
|
| 1 | 1 | 1 | 0 |
|
|
|
|
- $f(x, y, z) = x \overline z + \overline y$
|
|
- ? vynechání některých součinů tak, že výsledek je stále roven funkci f
|
|
- f, p součin literálů je implikantem fce f, pokud $p \leq f$
|
|
- implikant je prostý, pokud součin vzniklý odstraněním libovolného literálu z p přestane být implikantem f |