2023-01-11 20:14:08 +01:00
|
|
|
# Monotonie a omezenost posloupnosti
|
2023-01-25 17:19:32 +01:00
|
|
|
## Posloupnost
|
|
|
|
|
### Definice
|
|
|
|
|
- **Posloupnost reálných čísel** je zobrazení s definičním oborem $\mathbb N$ a oborem hodnot $H \subset R$
|
|
|
|
|
- každému indexu z $n \in \mathbb N$ je přiřazen právě jeden člen $a_n \in \mathbb R$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Zadání posloupnosti
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| typ | příklad |
|
|
|
|
|
| ----------------------- | ------------------------------------------------------ |
|
|
|
|
|
| explicitní | $a_n = 2n$ |
|
|
|
|
|
| implicitní (rekurentní) | $\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2\\ a_1 = 1\end{cases}$ |
|
|
|
|
|
|
2023-01-11 20:14:08 +01:00
|
|
|
## Omezenost
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Posloupnost $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je omezená (zdola, shora), je-li množina $H$ omezená (zdola, shora).
|
|
|
|
|
|
2023-01-25 17:19:32 +01:00
|
|
|
| značení | typ | podmínka |
|
2023-01-11 20:14:08 +01:00
|
|
|
| ------- | ----------------------- | --------- |
|
2023-01-25 17:19:32 +01:00
|
|
|
| **O** | omezená (shora i zdola) | $\exist \ c > 0 \ \forall n \in \mathbb N: \vert a_n \vert \ \leq c $ |
|
|
|
|
|
| **OS** | omezená shora | $\exist \ h \in \mathbb R, \ \forall n \in \mathbb N: a_n \leq h$ |
|
|
|
|
|
| **OZ** | omezená zdola | $\exist \ d \in \mathbb R, \ \forall n \in \mathbb N: d \leq a_n$ |
|
2023-01-11 20:14:08 +01:00
|
|
|
|
|
|
|
|
## Monotonie
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Řekněme, že $(a_n)$ je
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| značka | typ | podmínka |
|
|
|
|
|
| ------ | --------------- | ------------------------------------------------------------- |
|
|
|
|
|
| **R** | rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} >= a_n$ |
|
|
|
|
|
| **K** | klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} <= a_n$ |
|
|
|
|
|
| **OR** | ostře rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} > a_n$ |
|
|
|
|
|
| **OK** | ostře klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} < a_n$ |
|
|
|
|
|
| **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí |
|
|
|
|
|
| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Zjištění monotonie
|
|
|
|
|
1) Tipnu a ověřím
|
|
|
|
|
2) Otazníčková metoda
|
