FAV-ZCU/KMA M1/Okruhy/1. Monotonie a omezenost posloupnosti.md

Monotonie a omezenost posloupnosti

Posloupnost

Definice

• Posloupnost reálných čísel je zobrazení s definičním oborem \mathbb N a oborem hodnot H \subset R
  • každému indexu z n \in \mathbb N je přiřazen právě jeden člen a_n \in \mathbb R

Zadání posloupnosti

typ	příklad
explicitní	a_n = 2n
implicitní (rekurentní)	\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2\\ a_1 = 1\end{cases}

Omezenost

Posloupnost (a_n) s oborem hodnot H je omezená (zdola, shora), je-li množina H omezená (zdola, shora).

značení	typ	podmínka
O	omezená (shora i zdola)	\exist \ c > 0 \ \forall n \in \mathbb N: \vert a_n \vert \ \leq c
OS	omezená shora	\exist \ h \in \mathbb R, \ \forall n \in \mathbb N: a_n \leq h
OZ	omezená zdola	\exist \ d \in \mathbb R, \ \forall n \in \mathbb N: d \leq a_n

Monotonie

Řekněme, že (a_n) je

značka	typ	podmínka
R	rostoucí	\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} >= a_n
K	klesající	\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} <= a_n
OR	ostře rostoucí	\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} > a_n
OK	ostře klesající	\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} < a_n
M	monotónní	je klesající nebo rostoucí
OM	ostře monotónní	je ostře klesající nebo ostře rostoucí

Zjištění monotonie

1. Tipnu a ověřím
2. Otazníčková metoda