2.2 KiB
2.2 KiB
Determinant
Determinantem čtvercové matice A = [a_{ij}] řádu n nazveme číslo
\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}kde sčítáme přes všechny permutace na množině \{1, 2, \dots, n\}.
Rozvoj podle i-tého řádku
- A je čtvercová matice řádu
n i \in {\{ 1, 2, ..., n \}}det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}- rozvojem se řeší všechny determinanty řádu
n\eq 4 - elementární úpravy:
- prohození dvou řádků matice
- vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
- přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému
- pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy ($det(A) = det(A^{T})$)
Věty
Nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců). Potom \det(B) = -\det(A).
- DK: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná.
- z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k
det(A)
Má-li matice A dva stejné řádky nebo sloupce, potom \det(A) = 0.
- DK: Matice B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců).
- musí platit zároveň, že:
\det(B) = -\det(A)z předchozí věty, tedy0 = -0- matice
B = A, tedy\det(B) = \det(A), proto0 = 0
- Z toho plyne, že determinant je nulový, tedy
\det(A)=\det(B)=0.
Nechť matice B vznikne z matice A vynásobením $i$-tého řádku (sloupce) číslem c. Potom \det(B) = c \cdot \det(A).
- DK: Rozvoj v matici B podle $i$-tého řádku:
\det(B) = (c \cdot a_{i1} \cdot A_{i1} + c \cdot a_{i2} \cdot A_{i2} + \dots + c \cdot a_{in} \cdot A_{in}) =c \cdot (a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \dots + a_{in}*A_{in}) = c \cdot det(A)
Má-li matice A nějaký řádek nebo sloupec nulový, potom \det(A) = 0
- DK: Rozvojem podle nulového řádku (či sloupce).
Nechť matice B vznikne z matice A přičtením $c$-násobku $i$-tého řádku (slupce) k $j$-tému řádku (sloupci) ($i \neq j$). Potom \det(B) = \det(A).
Nechť A, B jsou matice řádu n. Potom \det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B).