Lineární vektorové prostory

neprázdnou množinu V nazveme lineární vekotorový prostor nad tělesem \mathbb{T} (nad \mathbb{C} nebo nad $\mathbb{R}$)
- těleso je množina s operacemi "$+$" a "$*$" splňující distributivitu

Příklady:

zápis	typ
`R^2, R^3`	geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách
`R^n`	n-tice reálných čísel (aritmetické vektory)
`M_{m,n}`	všechny matice typu m/n (nad `R`, nad $C$)
`P_n`	všechny polynomy stupně nejvýše n
`C(a,b)`	všechny funkce spojité na `<a, b>`

základní vlastnosti v L. V. P.

Nechť V je L. V. P. nad \mathbb R
- nulový prvek je určen jednoznačně
- je-li x + y = x + z => y = z
- je-li x + y = z => x = z + (-y)
- \forall x \in V je opačný prvek -x určen jednoznačně
- \forall x \in V a \forall k \in \mathbb R je 0x = k0 = 0
- \forall x \in V je -1x = -x
- je-li kx = 0 => k = 0 nebo x = 0

Lineární závislost a nezávislost

Nechť V je L. V. P. a v_1, v_2, ..., v_n jsou prvky prostoru V
Nechť \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n jsou reálná čísla (prvky $\mathbb T$)
prvek \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_n v_n se nazvývá lineární kombinací
prvky v_1, v_2, ..., v_n jsou linárně nezávislé pokud LK = 0
prvky v_1, v_2, ..., v_n jsou linárně závislé pokud LK \neq 0
prázdná množina prvků je vždy LN

Podprostor

Máme lineární vektorový prostor V a jeho podprostor U \subset V, jestliže

pro každé \vec{u}, \vec{v} \in U je \vec{u} + \vec{v} \in U
pro každé \vec{u} \in U a pro každé a \in K je a \cdot \vec{u} \in U
- vyplývá, že v podprostoru U bude vždy i nulový vektor ($a = 0$)

Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.

Operace s podprostory

Sjednocení u_{1} \cup u_{2}
- Musí platit:
  - u_{1} \subseteq u_{2}
  - u_{2} \subseteq u_{1}

Generující množina

Množina M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy \langle M \rangle = V.

2.3 KiB Raw Permalink Blame History