53 lines
2.3 KiB
Markdown
53 lines
2.3 KiB
Markdown
# Lineární vektorové prostory
|
|
|
|
- neprázdnou množinu V nazveme lineární vekotorový prostor nad tělesem $\mathbb{T}$ (nad $\mathbb{C}$ nebo nad $\mathbb{R}$)
|
|
- těleso je množina s operacemi "$+$" a "$*$" splňující distributivitu
|
|
|
|
Příklady:
|
|
|
|
| zápis | typ |
|
|
| ---------- | ------------------------------------------- |
|
|
| $R^2, R^3$ | geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách |
|
|
| $R^n$ | n-tice reálných čísel (aritmetické vektory) |
|
|
| $M_{m,n}$ | všechny matice typu m/n (nad $R$, nad $C$) |
|
|
| $P_n$ | všechny polynomy stupně nejvýše n |
|
|
| $C(a,b)$ | všechny funkce spojité na $<a, b>$ |
|
|
|
|
## základní vlastnosti v L. V. P.
|
|
- Nechť V je L. V. P. nad $\mathbb R$
|
|
- nulový prvek je určen jednoznačně
|
|
- je-li $x + y = x + z => y = z$
|
|
- je-li $x + y = z => x = z + (-y)$
|
|
- $\forall x \in V$ je opačný prvek $-x$ určen jednoznačně
|
|
- $\forall x \in V$ a $\forall k \in \mathbb R$ je $0x = k0 = 0$
|
|
- $\forall x \in V$ je $-1x = -x$
|
|
- je-li $kx = 0 => k = 0$ nebo $x = 0$
|
|
|
|
# Lineární závislost a nezávislost
|
|
- Nechť V je $L. V. P.$ a $v_1, v_2, ..., v_n$ jsou prvky prostoru V
|
|
- Nechť $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ jsou reálná čísla (prvky $\mathbb T$)
|
|
- prvek $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_n v_n$ se nazvývá **lineární kombinací**
|
|
- prvky $v_1, v_2, ..., v_n$ jsou **linárně nezávislé** pokud LK $= 0$
|
|
- prvky $v_1, v_2, ..., v_n$ jsou **linárně závislé** pokud LK $\neq 0$
|
|
|
|
- prázdná množina prvků je vždy LN
|
|
|
|
### Podprostor
|
|
|
|
Máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestliže
|
|
1) pro každé $\vec{u}, \vec{v} \in U$ je $\vec{u} + \vec{v} \in U$
|
|
2) pro každé $\vec{u} \in U$ a pro každé $a \in K$ je $a \cdot \vec{u} \in U$
|
|
- vyplývá, že v podprostoru $U$ bude vždy i nulový vektor ($a = 0$)
|
|
|
|
Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
|
|
|
|
#### Operace s podprostory
|
|
|
|
- Sjednocení $u_{1} \cup u_{2}$
|
|
- Musí platit:
|
|
- $u_{1} \subseteq u_{2}$
|
|
- $u_{2} \subseteq u_{1}$
|
|
|
|
### Generující množina
|
|
|
|
Množina $M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V$ generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy $\langle M \rangle = V$. |