FAV-ZCU/KMA LAA/Okruhy/6. Hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, určení hodnosti pomocí determinantů.md

Hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, určení hodnosti pomocí determinantů

Hodnost matice

• Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých řádků/sloupců v matici.
• Pro každou matici A platí, že
  • řádková hodnost je rovna té sloupcové, takže hod^r(A) = hod^s(A);
  • hodnost transponované matice je rovna hodnosti původní matice, takže hod(A) = hod(A^T).

Řádkový a sloupcový prostor matice

U matice A typu m/n je

• lineární obal všech řádkových vektorů (řádků) nazýván řádkovým prostorem matice A;
• lineární obal všech sloupcových vektorů (sloupců) nazýván sloupcovým prostorem matice A.

Dimenzi řádkového nebo sloupcového prostoru nazveme řádkovou (sloupcovou) hodností matice A a značíme ji hod^r(A) resp. hod^s(A).

Vlastnosti

• Nechť A a B jsou matice a C = A * B => hod(C) \leq min\{hod(A), hod(B)\}
• Nechť B je regulární matice a A je libovolná matice => hod(A*B) nebo hod(B*A) = hod(A)

Gaussova eliminační metoda

• algortimus pro převedení matice na stupňovitý tvar

Určení hodnosti pomocí determinantů

• determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále
• determinant libovolné čtvercové podmatice řádu m se nazývá minorem řádu m matice A
• nechť A je matice
  • hod(A) = m právě tehdy, když v A \ \exist nenulový minor řádu m a zároveň každý minor řádu většího než m je nulový
• Hodnost matice A je rovna rozměru největšího nenulového subdeterminantu