28 lines
1.6 KiB
Markdown
28 lines
1.6 KiB
Markdown
# Hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, určení hodnosti pomocí determinantů
|
|
## Hodnost matice
|
|
- Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých řádků/sloupců v matici.
|
|
- Pro každou matici A platí, že
|
|
- **řádková hodnost** je rovna té **sloupcové**, takže $hod^r(A) = hod^s(A)$;
|
|
- **hodnost transponované** matice je rovna hodnosti původní matice, takže $hod(A) = hod(A^T)$.
|
|
|
|
### Řádkový a sloupcový prostor matice
|
|
|
|
U matice A typu $m/n$ je
|
|
- lineární obal všech **řádkových vektorů** (řádků) nazýván **řádkovým prostorem** matice A;
|
|
- lineární obal všech **sloupcových vektorů** (sloupců) nazýván **sloupcovým prostorem** matice A.
|
|
|
|
Dimenzi řádkového nebo sloupcového prostoru nazveme **řádkovou (sloupcovou) hodností** matice A a značíme ji $hod^r(A)$ resp. $hod^s(A)$.
|
|
|
|
### Vlastnosti
|
|
- Nechť $A$ a $B$ jsou matice a $C$ = $A * B$ => $hod(C) \leq min\{hod(A), hod(B)\}$
|
|
- Nechť $B$ je regulární matice a $A$ je libovolná matice => $hod(A*B)$ nebo $hod(B*A) = hod(A)$
|
|
|
|
## Gaussova eliminační metoda
|
|
- algortimus pro převedení matice na stupňovitý tvar
|
|
|
|
## Určení hodnosti pomocí determinantů
|
|
- determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále
|
|
- determinant libovolné čtvercové podmatice řádu $m$ se nazývá **minorem řádu** $m$ matice $A$
|
|
- nechť $A$ je matice
|
|
- $hod(A) = m$ právě tehdy, když v $A \ \exist$ nenulový minor řádu m a zároveň každý minor řádu většího než $m$ je nulový
|
|
- Hodnost matice $A$ je rovna rozměru největšího nenulového subdeterminantu |