FAV-ZCU/KMA LAA/Okruhy/7. Inverzní matice, Gaussova-Jordanova eliminační metoda.md

Inverzní matice, Gaussova-Jordanova eliminační metoda

Inverzní matice

• X je inverzní k A, jestliže platí A * X = X * A = I

• inverzní matice A^{-1} nemusí pro matici A vždy existovat. Pokud ale existuje, je jednoznačně určená.

  • A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
  • (AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}

• inverzní matice A^{-1} k matici A existuje pouze, pokud je matice A regulární.

• inverzní matice k matici A existuje maximálně jedna

Adjungovaná matice

Adjungovaná matice je matice A^A, která je poskládaná z algebraických doplňků, ale transponovaně.

Určení inverzní matice pomocí determinantů

Pokud je matice A regulární, je možné získat inverzní matici.

\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^A

!

Gaussova-Jordanova eliminační metoda

• vylepšená GEM metoda
• nejdříve provedeme GEM metodu (převede matici do stupňovitého tvaru)
• potom ve sloupcích, kde se nachází pivotní prvky vynulujeme prvky nad pivotama
• pro jednodušší vyčtení výsledku soustavy rovnic