122 lines
5.6 KiB
Markdown
122 lines
5.6 KiB
Markdown
# Formulujte následující tvrzení a věty
|
|
### vlastnosti sčítání, násobení matic
|
|
- **sčítání matic**
|
|
- matice $A, B$ - pouze matice stejného typu
|
|
- sčítá se po prvcích => $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$
|
|
- $C = A + B$
|
|
- odečítání analogicky
|
|
- **násobení matic**
|
|
- konstantou
|
|
- máme matici $A$ a koeficient $k \in \mathbb{C}$
|
|
- **každý prvek matice vynásobíme číslem k**
|
|
- $c_{ij} = k * a_{ij}$
|
|
- násobení dvou matic
|
|
- $C = A * B$: $A$ typu m/n, $B$ typu n/p
|
|
- počet sloupců první matice se musí rovnat počtu řádků druhé matice
|
|
- **skalární součin i-tého řádkového vektoru $A$ a j-tého sloupcového vektoru $B$**
|
|
- násobení matic není komutativní!
|
|
- výsledná matice typu m/p
|
|
|
|
### Vietovy vzorce, věta o rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů
|
|
- Vietovy vzorce
|
|
- máme **polynom proměnné x** - $p(x)$ a kořeny $c_1, c_2, ..., c_n$ polynomu p(x)
|
|
- $a_{n-1} = -a_n(c_1, c_2, ..., c_n)$
|
|
|
|
- věta o rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů
|
|
- každý polynom lze vyjádřit jako:
|
|
- $p(x) = (x-c_1)(x-c_2)...(x-c_n)$
|
|
- $c_1, c_2, ..., c_n$ - kořeny polynomu p(x)
|
|
|
|
### věta o lin. závislosti prvků
|
|
- prvky $v_1, v_2, ..., v_n$ jsou LZ pokud se alespoň jeden z nich dá vyjádřit jako LK ostatních
|
|
- každá podmnožina LN pvrků je LN
|
|
- každá nadmnožina LZ prvků je LZ
|
|
- LZ množina může obsahovat LN množinu
|
|
- množina s nulovým prvkem je LZ, {0} je LZ
|
|
|
|
### věta o existenci báze, Steinitzova věta o výměně
|
|
- **věta o existenci báze**
|
|
- v každém nenulovém konečně generovaném $L. V. P. \ \exist$ alespoň jedna báze
|
|
- báze nulového (triviálního) $L. V. P.$ je {0}
|
|
|
|
- **Steinitzova věta o výměně**
|
|
- máme $L. V. P.$ - V, $M = \{g_1, g_2, ..., g_m\}$ ... generátory V, $N = \{b_1, b_2, ..., b_n\}$ ... báze V
|
|
- $dim (N) \leq dim (M)$
|
|
- LZ prvky z $M$ lze nahradit prvky z $N$ => $N$ znovu generuje V
|
|
|
|
### věta o souřadnicích prvků v bázi
|
|
- máme:
|
|
- V - nenulový, konečně generovaný $L. V. P.$
|
|
- $B = \{\vec b_1, \vec b_2, ..., \vec b_n\}$ uspořádaná báze V
|
|
- koeficienty $c_1, c_2, ..., c_n \in R$
|
|
- $\vec v \in V$
|
|
- **souřadnice prvku** $\vec v$ v bázi $B$ je LK $\vec v = c_1b_1 + c_2b_2 + ... + c_nb_n$
|
|
- značí se $\widehat{\vec v_B} = [c_1, c_2, ..., c_n]^T$
|
|
- je nutné dávat si pozor na pořadí!
|
|
- **souřadnice součtu dvou prvků** jsou **součtem souřadnic těchto prvků**
|
|
- $\widehat {(\vec v_1 + \vec v_2)} = \widehat {(\vec v_1)} + \widehat {(\vec v_2)}$
|
|
- **souřadnice $\lambda$ - násobku** jsou **rovny $\lambda$ - násobku souřadnic tohoto prvku**
|
|
- $\widehat {(\lambda * \vec v)} = \lambda * \widehat {(\vec v)}$
|
|
|
|
### věta o rozvoji determinantu podle řádku
|
|
- máme: $A$ - čtvercová matice řádu n, $i \in \{1, 2, ..., n\}$
|
|
- rozvoj podle $i$-tého řádku - $det(A) = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}$
|
|
- věta platí analogicky i podle sloupce ($det(A) = det(A^T)$)
|
|
|
|
### věty o elementárních úpravách determinantu
|
|
- **elementární úpravy**
|
|
- **prohození dvou řádků matice**
|
|
- **vynásobení jednoho řádku matice** (nenulovým číslem)
|
|
- **přičtění k-násobku jednoho řádku k jinému**
|
|
- pouze pro determinanty platí elementární úpravy i pro sloupce
|
|
- **prohození dvou řádků**
|
|
- matice $B$ vznikne prohozením dvou řádků $A$
|
|
- $det(B) = -det(A)$
|
|
- má-li matice A dva stejné řádky / sloupce => $det(A) = 0$
|
|
- **vynásobení číslem**
|
|
- matice $B$ vznikne vynásobením $i$-tého řádku číslem $c$
|
|
- $det(B) = c * det(A)$
|
|
- má-li $A$ nulový řádek / sloupec => $det(A) = 0$
|
|
|
|
### věta o stupňovitém tvaru matice
|
|
- pivot - první nenulový prvek na řádku
|
|
- matice je ve **stupňovitém tvaru** pokud:
|
|
- pro každý řádek platí:
|
|
- je-li pivot na pozici j => ve všech dalších řádcích je pivot na pozici $j' > j$
|
|
- je-li i-tý řádek nulový => další řádky nulové
|
|
|
|
### věta o existenci inverzní matice
|
|
- inverzní matice $\exist$ pouze pro regulární matice
|
|
- inverzní matice je jednoznačně určena
|
|
|
|
### věta o dimenzích jádra a obrazu lin. zobr
|
|
- Nechť $U, V$ ... lineární vektorové prostory a $\mathbb{L}: U \rightarrow V$ ... lineární zobrazení
|
|
- Ker($\mathbb{L}$) ... podprostorem $U$
|
|
- Im($\mathbb{L}$) ... podprostorem $V$
|
|
- dim($U$) = dim(ker($\mathbb{L}$)) + dim(Im($\mathbb{L}$))
|
|
|
|
### vlastnosti izomorfního zobrazení
|
|
- Nechť $U, V$ ... lineární vektorové prostory a $\mathbb{L}: U \rightarrow V$ ... lineární zobrazení
|
|
- izomorfní zobrazení: $\mathbb{L}: U \rightarrow V$
|
|
- je **prosté** a zároveň **"na"**
|
|
- inverzní izomorfní zobrazení: $\mathbb{L}^{-1}: U \rightarrow V$ je též izomorfní
|
|
- $\mathbb{L}$ je izoformizmus:
|
|
- <=> Ker($\mathbb{L}$) = {$0_U$} a zároveň Im($\mathbb{L}$) = V
|
|
- <=> dim($U$) = dim(V)
|
|
- pokud je zobrazení izomorfní => $x_1, x_2, ..., x_n \in U$ jsou LZ pokud $\mathbb{L}(x_1), (x_2), ..., (x_n) \in V$ jsou LZ
|
|
|
|
### vlastnosti matice přechodu
|
|
- nechť $C$, $D$ jsou dvě báze prostoru $U$
|
|
- $T$ je **matice přechodu** od báze $D$ k bázi $C$
|
|
- => 1. $T$ je regulární
|
|
- => 2. $T_{\vec u_C} = \vec u_D \forall \vec u \in U$
|
|
- => 3. $T^{-1}$ ... matice přechodu od báze $C$ k bázi $D$
|
|
|
|
### Frobeniova podmínka řešitelnosti soustav
|
|
- máme soustavu rovnic ($A*x = b$)
|
|
- soustava rovnic má 1 řešení pokud:
|
|
- hod($A|b$) = hod($A$)
|
|
- soustava nemá řešení pokud:
|
|
- hod($A|b$) $\neq$ hod($A$)
|
|
- soustava má nekonečně mnoho řešení pokud:
|
|
- hod($A|b$) $<$ n (počet neznámých) |