FAV-ZCU/KMA M1/Okruhy/2. Limita posloupnosti.md

Limita posloupnosti

Limita

Vlastní limita

Posloupnost (a_n) má vlastní limitu a \in R, pokud \displaystyle \forall \epsilon \in R > 0 \ \ \ \exists n_{0} \in N \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon

Píšeme \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a nebo a_{n} \to a

Pozn.: a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon

• Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující n mají a_n uvnitř $\epsilon$-pásem

Nevlastní limita

Posloupnost (a_n) má nevlastní limitu +\infty, pokud

\displaystyle \forall h > 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h

\displaystyle \forall d < 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d

Píšeme \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty nebo $a_{n} \to +\infty$ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty nebo a_{n} \to -\infty

Jednoznačnost limity

Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu

Algebra vlastních limit

Nechť \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a a \displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b, pak

1. \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \times a_{n} + \beta \times b_{n}) = \alpha \times a + \beta \times b, pokud je pravá strana definována,

2. \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \times b_{n}) = a \times b, pokud je pravá strana definována,

3. \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}, pokud b_{n} \neq 0 pro všechna n \in N a pokud je pravá strana definována

Eulerovo číslo

• je definováno jako \displaystyle e := \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = |"NV $1^\infty$"|
• alternativní definice: \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}

Konvergence a divergence

Řekněme, že (a_n) je

značka	typ	podmínka
K	konvergentní	má-li vlastní / konečnou limitu
D	divergentní	není-li konvergentní
	divergentní k +\infty	má-li nevlastní limitu +\infty
	divergentní k -\infty	má-li nevlastní limitu -\infty

Omezenost a limity

1. Je-li posloupnost konvergentní (K), pak je i omezená (O)

2. Diverguje-li posloupnost k +\infty, pak je omezená pouze zdola (OZ)

3. Diverguje-li posloupnost k -\infty, pak je omezená pouze shora (OS)

Dále také

1. Je-li (a_n) monotónní (M) a omezená (O), pak je i konvergentní (K)

2. Je-li (a_n) rostoucí (R) a omezená (O), pak \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \ a_{n} a min \ a_{n} = a_{1}

3. Je-li (a_n) klesající (K) a omezená (O), pak \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \ a_{n} a max \ a_{n} = a_{1}