FAV-ZCU/KMA M1/Okruhy/9. Spojitost funkce a body nespojitosti.md

Spojitost funkce a body nespojitosti

Spojitost

• v x_0 \in D_f
• f(x_0) = \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} f(x)
• chování v bodě = chování na okolí
• poznámka: spojité funkce umíme načtrtnout jedním tahem

Definice

• funkce je spojitá v x_0 \in D_f pokud f(x_0) = \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} f(x)
  • spojitá zprava, pokud f(x_0) = f(x_0+)
  • spojitá zleva, pokud f(x_0) = f(x_0-)

Nespojitosti

• funkce f: D_f -> H_f a bod x_0 \in \mathbb R, pro který \exist prstencové okolí P(x_0) \in D_f
• bod x_0 je bod nespojitosti, není-li f v x_0 spojitá
• rozlišujeme 3 případy:
  • odstranitelná nespojitost (ON)
    • x_0 je bodem odstanitelné spojitosti, pokud:
      • f(x_0) \neq \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} f(x) \in \mathbb R
      • f(x_0+) = f(x_0-)
  • neodstranitelná nespojitost 1. druhu (NN1D)
    • x_0 je bodem neodstanitelné nespojitosti 1. druhu, pokud:
      • f(x_0+), f(x_0-) \in R, ale f(x_0+) \neq f(x_0-)
    • mluvíme o skokové nespojitosti se skokem
      • s = f(x_0+) - f(x_0-)
  • neodstranitelná nespojitost 2. druhu (NN2D)
    • x_0 je bodem neodstranitelné nespojitosti, pokud \nexists alespoň 1 vlastní limita ($f(x_0+) / f(x_0-)$)
      • 2 možnosti (nevlastní / neexistuje)