104 lines
3.6 KiB
Markdown
104 lines
3.6 KiB
Markdown
# Hodnost matice
|
|
|
|
- počet nenulových řádků matice
|
|
|
|
### Řádkový a sloupcový prostor matice
|
|
|
|
U matice A typu $m/n$ je
|
|
- lineární obal všech **řádkových vektorů** (řádků) nazýván **řádkovým prostorem** matice A;
|
|
- lineární obal všech **sloupcových vektorů** (sloupců) nazýván **sloupcovým prostorem** matice A.
|
|
|
|
Dimenzi řádkového nebo sloupcového prostoru nazveme **řádkovou (sloupcovou) hodností** matice A a značíme ji $hod^r(A)$ resp. $hod^s(A)$.
|
|
|
|
$$
|
|
A = \begin{bmatrix}
|
|
1 & 2 & 5 \\
|
|
-2 & 3 & -4 \\
|
|
-1 & 5 & 1
|
|
\end{bmatrix} \space \begin{matrix}
|
|
\leftarrow r_{1} \\
|
|
\leftarrow r_{2} \\
|
|
\leftarrow r_{3}
|
|
\end{matrix}
|
|
$$
|
|
|
|
$$
|
|
M = \biggl\{ \begin{bmatrix}
|
|
1 \\
|
|
2 \\
|
|
5
|
|
\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}
|
|
-2 \\
|
|
3 \\
|
|
-4
|
|
\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}
|
|
-1 \\
|
|
5 \\
|
|
1
|
|
\end{bmatrix} \biggl\}
|
|
$$
|
|
|
|
- M generuje řádkový lineárně vektorový prostor matice A.
|
|
- M je LZ, neboť $r_3^T = r_1^T + r_2^T$, tedy $dim(M) < 3$.
|
|
- Ale $\{r_1^T, r_2^T\}$ je LN a tedy báze, proto $hod^R(A) = 2$.
|
|
|
|
Pro každou matici A platí, že
|
|
- **řádková hodnost** je rovna té **sloupcové**, takže $hod^r(A) = hod^s(A)$;
|
|
- **hodnost transponované** matice je rovna hodnosti původní matice, takže $hod(A) = hod(A^T)$.
|
|
|
|
**Hodností matice** A nazveme hodnotu $hod^r(A)$.
|
|
|
|
### Regulární matice
|
|
|
|
| vlastnost | výraz |
|
|
| ----------------------------------------- | ------------------------- |
|
|
| její **hodnost** se rovná jejímu **řádu** | $hod(A) = n$ |
|
|
| má **nenulový determinant** | $\det{A} \neq 0$ |
|
|
| **existuje** k ní **inverzní matice** | $\text{existuje } A^{-1}$ |
|
|
|
|
Každou **regulární matici** lze řádkovými elementárními úpravami převést **na jednotkovou matici**.
|
|
|
|
### Singulární matice
|
|
|
|
| vlastnost | výraz |
|
|
| ------------------------------------------ | --------------------------- |
|
|
| její **hodnost** je **menší než její řád** | $hod(A) < n$ |
|
|
| má **nulový determinant** | $\det{A} = 0$ |
|
|
| **neexistuje** k ní **inverzní matice** | $\text{neexistuje } A^{-1}$ |
|
|
|
|
### Určení hodnosti pomocí determinantu
|
|
|
|
Determinant **trojúhelníkové matice** je roven **součinu prvků na hlavní diagonále**.
|
|
|
|
Determinant libovolné **čtvercové podmatice** řádu $m$ se nazývá **minorem řádu** $m$ matice A.
|
|
|
|
**Hodnost matice** $A$ je rovna **rozměru největšího nenulového subdeterminantu**.
|
|
|
|
Nechť A je matice. Potom je $hod(A) = m$ právě tehdy,
|
|
- když v A existuje **nenulový minor řádu** $m$
|
|
- a zároveň každý **minor řádu většího než** $m$ **je nulový**.
|
|
|
|
Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0**.
|
|
- **DK**: Podle předchozí věty je $hod(A) = n \iff$ v A existuje nenulový minor řádu $n$.
|
|
- Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**.
|
|
|
|
### Inverzní matice
|
|
|
|
Inverzní matice $A^{-1}$ nemusí pro matici $A$ vždy existovat. Pokud ale existuje, je jednoznačně určená.
|
|
- $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$
|
|
- $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$
|
|
|
|
Inverzní matice $A^{-1}$ k matici $A$ existuje pouze, pokud je matice $A$ regulární.
|
|
|
|
### Adjungovaná matice
|
|
|
|
Adjungovaná matice je matice $A^A$, která je poskládaná z algebraických doplňků, ale **transponovaně**.
|
|
|
|
#### Určení inverzní matice pomocí determinantů
|
|
|
|
Pokud je matice A regulární, je možné získat inverzní matici.
|
|
|
|
$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^A$
|
|
|
|
![[_assets/inverzni-matice-determinant.jpg]]
|