FAV-ZCU/KMA M1/Okruhy/20. Taylorův polynom.md

Taylorův polynom

• aproximace (komplikovaných) funkcí polynomy

Definice:

• máme: f: I \rightarrow \mathbb R, x_0 \in I a f má n derivací
• Taylorovým polynomem funkce f v x_0 $n$-tého stupně nazýváme:
  • T_n(x_0) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac {f''(x)}{2} * (x-x_0)^2+...

Taylorova Věta:

• f má (n+1) derivací (spojitých) na I = (x_0-\delta;x_0+\delta) potom \forall x \in I:
  • f(x)=T_n(x)+R_{n+1}(x)
  • funkce = Taylor, kde R_{n+1}(x) = splňuje:
    • 1. R_{n+1}(x) = \frac{1}{n!} * \int_{x_0}^{x}f^{(n+1)}*(t)*(x-t)^1 dt
  • nebo např.:
    • 2. R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}*(c)}{n!} * (-x_0)^{(n+1)}