a vzdálenost dvou prvků $d(\vec{x}, \vec{y}) = \Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert$. Vzdálenosti se obvykle říká **metrika** a příslušnému prostoru **metrický prostor**.
## Ortogonalita
Dva prvky $\vec{x}, \vec{y}$ Eukleidovského prostoru $U$ jsou **ortogonální** (kolmé), jestliže $(\vec{x}, \vec{y}) = 0$.
- Píšeme $\vec{x} \perp \vec{y}$.
- Množiny $X, Y, \subset U$ jsou ortiginální, jestliže $\vec{x} \perp \vec{y}$ pro každé $\vec{x} \in X$ a $\vec{y} \in Y$.
Každá podmnožina Eukleidovského prostoru, jejíž prvky jsou nenulové a navzájem ortogonální, je LN.
- Žádný ze vzájemně kolmých vektorů není možné vyjádřit jako LK ostatních.
### Pythagorova věta
Nechť $U$ je Eukleidův prostor, $\vec{x}, \vec{y} \in U$. Potom
1. Mějme v $U$ bázi $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{n};$ hledáme ortogonální bázi $\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{n}$.
2. Položíme $\vec{g}_{1} = \vec{b}_{1}$.
3. Určíme $\displaystyle \vec{g}_{2} = \vec{b}_{2} - \frac{\vec{b}_{2}, \vec{g}_{1}}{(\vec{g}_{1}, \vec{g}_{1})} \vec{g}_{1}$, což je ortogonální (kolmý) průmět vektoru $\vec{b}_{2}$ do přímky dané vektorem $\vec{g}_{1}$. Platí, že $\vec{g}_{2} \perp \vec{g}_{1}$.
4. Obecně hledáme $\vec{g}_{k}$ jako $\vec{b}_{k} - \overline{\vec{b}_{k}}$, kde $\overline{\vec{b}_{k}}$ je ortogonální průmět prvku $\vec{b}_{k}$ do podprostoru s ortogonální bází $\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k-1}$. Tedy:
Mějme Eukleidovský prostor $U$, jeho podprostor $V$ a v něm generátor (ne nutně bázi) $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k}$. Máme určit ortogonální průmět $\overline{\vec{x}}$ prvku $\vec{x} \in U$ do $V$.
- Je-li $\{ \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k} \}$ **ortogonální báze**, potom **Gramova matice je diagonální**.
- Gramova matice je regulární, právě když množina vektorů $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k}$ je LN.
Zřejmě $\overline{\vec{x}}$ je nejbližším vektorem k $\vec{x}$ ve $V$.
Je-li $V$ podprostorem prostoru $U$ a $\vec{x} \notin V$, potom existuje právě jeden prvek $\overline{\vec{x}}$ takový, že $\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp V$ a $\overline{\vec{x}} \in V$.
- Pro každý vektor $\vec{y} \in V$ platí $\Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert \geq \Vert \vec{x} - \overline{\vec{x}} \Vert$ a rovnost nastává, právě když $\vec{y} = \overline{\vec{x}}$.
- Sloupce matice představují vektory $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{z}$.
- Má-li tato soustava řešení, pak přímka prochází všemi body. A když ne?
$$
\begin{matrix}
-3 = a \cdot (-2) + b \\
0 = a \cdot (-1) + b \\
2 = a \cdot (0) + b \\
1 = a \cdot (1) + b \\
2 = a \cdot (2) + b \\
3 = a \cdot (3) + b
\end{matrix} \qquad \begin{bmatrix}
-2 & 1 & -3 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 2 \\
3 & 1 & 3
\end{bmatrix}
$$
Víme: $\vec{z}, \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2} \in \mathbb{R}^6$, hledáme $a, b$ tak, aby $\vec{z}'$ byl co nejblíže vektoru $\vec{z}$ a zároveň soustava měla řešení. Tedy $\vec{z}'$ je ortogonální průmět $\vec{z}$ do prostoru generovaného $\{ \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2} \}$.
Nechť $V$ je podprostor Eukleidovského prostoru $U$. **Ortogonální doplněk $V^{\perp}$ podprostoru $V$** v $U$ je množina všech vektorů z $U$, které jsou kolmé na $V$, tedy na každý prvek $V$. Píšeme:
$$
V^{\perp} = \{\vec{u} \in U; \vec{u} \perp \vec{v} \text{ pro každé } \vec{v} \in V\}
$$
- je to podprostor
- $dim(V) + dim(V^{\perp}) = dim(U)$
### Ortonormální báze
**Ortogonální (kolmá) báze**, jejíž prvky mají **délku 1**. (tedy $(b_{i}, b_{i}) = 1$ pro každé $i = 1, 2, \dots, k$)
- existuje v každém **Euklidovském prostoru konečné dimenze**
