FAV-ZCU/KMA M1/Okruhy/12. Nutná podmínka existence extrému.md

Nutná podmínka existence extrému

Fermatova věta

• funkce f má v x_0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě její derivace f'(x_0), potom: f'(x_0) = 0

• poznámka:

  • body f'(x_0)=0 nazýváme klidové (stacionární) body
  • body podezřelé z extrémů:

    • stacionární f'(x)=0

    • body, kde není derivace

Extrémy

• maximum / minimum
• ostré / neostré
• lokální / globální

Věta 6.8:

• mějme funkci f: D \rightarrow \mathbb R, která má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I \subset D
  • a) je-li f'(x) \geq 0 \ \forall x \in I, potom f je roustoucí na I
  • b)je-li f''(x) \leq 0 \ \forall x \in I, potom f je klesající na I
  • c) je-li f'(x) = 0 \ \forall x \in I, potom f je konstantní na I

Věta 6.11:

• mějme funkci f: D \rightarrow \mathbb R, která má vlastní druhou derivaci na otevřeném intervalu I \subset D
  • a) je-li f''(x) \geq 0 \ \forall x \in I, potom f je konvexní na I
  • b)je-li f''(x) \leq 0 \ \forall x \in I, potom f je konkávní na I